2013复旦附中自招T3-1

刷题刷到的，感觉挺有意思的就记一下。

若 \(a,b\) 为正有理数且 \(\sqrt{a}+ \sqrt{b}\) 同样为有理数，求证： \(\sqrt{a}, \sqrt{b}\) 为有理数。

令 \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=x\)，那我们接下来推一下式子：

\[\sqrt{a}=x-\sqrt{b} \]

\[a=x^2+b-2x\sqrt{b} \]

\[2x\sqrt{b}=x^2+b-a \]

\[\sqrt{b}=\dfrac{x^2+b-a}{2x} \]

很显然 \(x\) 为有理数，\(b\) 为有理数，\(a\) 也为有理数。根据有理数的封闭性得 \(\sqrt{b}\) 为有理数。

同理得 \(\sqrt{a}\) 也为有理数。

得证。