费马小定理求逆元

逆元定义

若 \(a*x\equiv1 \pmod {b}\)，且 \(a\) 与 \(b\) 互质，那么我们就能定义:
\(x\) 为 \(a\) 的逆元，记为 \(a^{-1}\)，所以我们也可以称 \(x\) 为 \(a\) 在 \(\bmod b\) 意义下的倒数，

所以对于 \(\displaystyle\frac{a}{b} \pmod {p}\) ，我们就可以求出 \(b\) 在 \(\bmod {p}\) 下的逆元，然后乘上 \(a\) ，再 \(\bmod {p}\)，就是这个分数的值了。

费马小定理求逆元

这个做法要利用 费马小定理

若 \(p\) 为素数，\(a\) 为正整数，且 \(a\),\(p\) 互质。
则有 \(a^{p-1} \equiv 1 (\bmod {p})\)。

这个我们就可以发现它这个式子右边刚好为 \(1\) 。

所以我们就可以放入原式，就可以得到：

\[a*x\equiv 1 \pmod p \]

\[a*x\equiv a^{p-1} \pmod p \]

\[x \equiv a^{p-2} \pmod p \]

所以我们可以用快速幂来算出 \(a^{p-2} \pmod p\)的值，这个数就是它的逆元了

代码也很简单：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long normalPower(long long base,long long power,long long k) 
{
	long long result=1;
	while(power>0)
	{     
		if(power&1) result=result*base%k;
		power>>=1;
		base=(base*base)%k;
	}
	return result;
}
int main() 
{
	//freopen(".in","r",stdin);
	//fvreopen(".out","w",stdout);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
	int n,p;
	cin>>n>>p;
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<normalPower(i,p-2,p)<<endl;;
	return 0;
}

时间复杂度为 \(O(\log p)\)，不适用于多组数据。