数的全排列

数的全排列

 

一、介绍

　　从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

　　当m=n时所有的排列情况叫全排列（Full Permutation）。公式：全排列数f(n)=n!(定义0!=1)。

　　例如：现有3个不同元素 123，它的全排列为：1 2 3；1 3 2；2 1 3；2 3 1；3 1 2；3 2 1；全排列数为1*2*3=6。

 

二、算法

 

　　现在要设计一段代码来完成对特定元素组的全排列

　　1.如果是元素数很少的，我们可以通过多重循环嵌套枚举来完成；如3个不同元素123，用c语言进行三重循环：

#include<stdio.h>

int main(){
    int a,b,c;
    //三重嵌套，依次枚举第一位、第二位、第三位的元素 
    for(a=1;a<=3;a++)
        for(b=1;b<=3;b++)
            for(c=1;c<=3;c++)
                if(a!=b && b!=c && c!=a){
                    printf("%d %d %d\n",a,b,c);
                }
    return 0;        
} 

　　运行结果：

 

 　　同理，4个元素的1234的全排列，可以加上一层循环枚举；但是如果是像123456这样稍大一点的全排列，需要进行6层循环枚举，这样的算法就非常的麻烦了。

 

　　2.

　　我们知道，一段不重复的元素组如果以从小到大的升序排列（如 123），它只有一种排列（1 2 3 ），所以我们从第一位开始尽量的选取所能选取的最小数字，我们在第一个位置选择元素1，进入下一个位置，易得2是第二个位置所能选取的最小数字，故选择2，第3个元素自然是3了，此时3个位置都被我们依次填满了，获得了第一个排列 1 2 3 ；现在我们已经拥有了一种排列，如何获得全部的排列呢？

　　当我们确定了第一位是1（可看成第一位与第一位进行了互换），就面临着第二位的选择，第一种排列里第二位是2，那么我们将第二位的2与第三位的3进行位置的互换，此刻我们又得到了一个新的排列 1 3 2；

　　1开头的情况就完整了 ，为 1 2 3 ，1 3 2 ；

　　但是我们不能立马进行下一轮的位置交换，我们需要先回溯，将第二位与第三位的位置再次互换， 得到了了1 2 3（1开头的最小排列）;我们现在将第一位与第二位进行互换，得到了2 1 3（2开头的最小排列），再将第二位与第三位互换，得到了2 3 1；

　　2开头的情况也完整了，为 2 1 3 ，2 3 1 ；

　　同理，我们进行回溯，将第二位与第三位再次互换，得到 2 1 3（2开头的最小排列）；此刻我们将第一位与第三位进行互换，得到了3 2 1（3开头的最小排序），再将第二位与第三位互换，得到了 3 2 1；

　　那么3开头的情况也完整了，为 3 1 2， 3 2 1；

至此所有123的六种排列都完整了，1 2 3 ，1 3 2 ，2 1 3 ，2 3 1， 3 1 2 ，3 2 1；

　　扩展到n元素呢？

　　下面是JAVA代码：

import java.util.Scanner;

public class Permutation {
    
    public static int cnt = 0;//定义一个计数器来记录排列次数    
    public static void main(String []args) {
        Scanner reader = new Scanner(System.in);
        int []num = new int[reader.nextInt()];
        for(int i=0;i<num.length;i++) {
            num[i] = i+1;
        }
        Sort(0,num,num.length);
        System.out.println("共排列"+cnt+"次。");
    }
    public static void Sort(int a,int []n,int length) {//a数组起始位置，n为原始数组，length数组长度
        
        if(a==length) {//结束
            print(n);
            cnt++;
        }
        else {
            for(int i=a;i<length;i++) {
                int temp;
                temp = n[i];
                n[i] = n[a];
                n[a] = temp;
                Sort(a+1,n,length);//前进一位        
                //回溯
                temp = n[i];
                n[i] = n[a];
                n[a] = temp;
            }
        }
    }

    public static void print(int []n) {//输出一种排列
        for (int i=0;i<n.length;i++){
          System.out.print(n[i]+" ");
        }
        System.out.println();
    }
}

　　输入3的运行结果：

 

 

 

　　如果我们不进行回溯会发生什么呢？ 

　

 

　总结：对于n元素的全排列问题，我们先考虑第一位，一共有n个元素，第一位自然就有n种情况，所以我们需要考虑1开头、2开头...n开头的各种情况，而我们确定初始排列为123...n这样的升序排列之后，我们用第一位依次与第二位、第三位、第n位进行互换（也可以理解为第一位与自己互换过），这是第一位的所有情况；那么第二位的所有情况同理，第二位依次与第三位、第四位、...第n位进行互换（也可以理解为第二位与自己互换过），依次类推到最后，进行所有情况的扩展。