二叉树 Binary Tree

1. 什么是二叉数

　　二叉树，字面意义是由两部分组成的树结构，更标准的定义是一个结点中最多包含两个子结点的树结构，两个子结点（node）通常被称为左子结点和右子结点。结点包含一个数据元素以及指向子结点的指针。

 

　　如上图所示，1是2和7的双亲结点，2和7是1的子结点，通常没有子结点的结点也会被称为叶子结点（或终端结点）。

 

2. 二叉树的相关概念

　　Node：Node可以被翻译成节点，也可以翻译成结点。一般来说，节点多指计算机网络中的物理节点，而算法中的Node通常译为结点。

　　结点的度（degrees）：结点子树的个数。

　　结点的层（levels）：如果根结点的层定义为1（有时候定义为0），根的子结点为第2层结点，以此类推。

　　树的深度：树中最大的结点层。

　　满二叉树（Full Binary Tree）：除叶子结点的度为0外，其余所有结点的度数都为2，即每个结点都包含左子结点和右子结点。

　　完全二叉树（Complete Binary Tree）：除了最后一层可能存在只有单独的左叶子结点之外，其余所有结点的度数都为2。（最后一层也会有左叶子结点和右叶子结点都存在的情况）

　　完美二叉树（Perfect Binary Tree）：除叶子结点的度为0外，其余所有结点的度数都为2，并且叶子结点都在同一层。

 

3. 二叉树的性质

　　第i层的最大结点数（设根结点为第0层）：2ⁱ    若根结点为第1层：2^i-1

　　深度为h的二叉树中（设根结点为第1层），最多有 2^h - 1 个结点，最少有h个结点。  若根结点为第0层，则最多有 2^h+1 - 1个结点。（等比数列求和）

　　结点总数为N的二叉树中（设根结点为第1层），最多有 ⌊Log₂n⌋+1 层 （ ⌊⌋ 为向下取整 floor），若根结点为第0层，⌊Log₂n⌋ - 1 层。

 

4. 二叉树结构的Java代码

/*本代码来源于https://www.geeksforgeeks.org/binary-tree-set-1-introduction/ */
/* Class containing left and right child of current 
   node and key value*/
class Node 
{ 
    int key; 
    Node left, right; 
  
    public Node(int item) 
    { 
        key = item; 
        left = right = null; 
    } 
} 
  
// A Java program to introduce Binary Tree 
class BinaryTree 
{ 
    // Root of Binary Tree 
    Node root; 
  
    // Constructors 
    BinaryTree(int key) 
    { 
        root = new Node(key); 
    } 
  
    BinaryTree() 
    { 
        root = null; 
    } 
  
    public static void main(String[] args) 
    { 
        BinaryTree tree = new BinaryTree(); 
  
        /*create root*/
        tree.root = new Node(1); 
  
        /* following is the tree after above statement 
  
              1 
            /   \ 
          null  null     */
  
        tree.root.left = new Node(2); 
        tree.root.right = new Node(3); 
  
        /* 2 and 3 become left and right children of 1 
               1 
             /   \ 
            2      3 
          /    \    /  \ 
        null null null null  */
  
  
        tree.root.left.left = new Node(4); 
        /* 4 becomes left child of 2 
                    1 
                /       \ 
               2          3 
             /   \       /  \ 
            4    null  null  null 
           /   \ 
          null null 
         */
    } 
}