关于等价无穷小使用条件的问题

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本文转载自：传送门 知乎作者：三川啦啦啦

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等价无穷小替换，本质上是一个选择估计值精确度的问题。我下面通过一个非常通俗易懂的例子来说明.
我问
\(\LARGE \frac{\pi-3}{0.1}\approx ?\)
答：约等于1.

什么， \(\pi = 3.1_{\cdots}\) 代入上式，
\(\LARGE \frac{\pi-3}{0.1}=\frac{3.1-3}{0.1}=\frac{0.1\ldots}{0.1}\approx 1\)

这个时候，我们只需要用到 π 的估计值 3.1就够了.
但是，若问
\(\LARGE \frac{\pi-3.1}{0.0415}\approx ?\)

这个时候，如果我们仍然选择 π 的估计值 3.1代入上式，就会出现灾难性后果：
\(\LARGE \frac{0}{0.0415}\approx 0\)

这个约等于就跟玩一样，明明约等于 1 才更准确啊！
\(\LARGE \frac{\pi-3.1}{0.0415}=1.002232616621519_{\cdots}\)

导致这个后果的原因是什么呢？
你看，如果我使用 π 稍精确一点估计值3.14（而不是3.1），代入结果
\(\LARGE \frac{\pi-3.1}{0.041}\approx\frac{0.040}{0.041}\approx 1\)

问题又来了（这是一个关键性问题），

• 为什么在第二种情况，我们选择了π 更精确的估计值3.14，而没有选用3.1？

• 前后两道例题的区别在哪里？

前后两个例子的区别在于——对误差项估计的精确程度要求不同，前一道题对 π 的估计只精确到了十分位（0.1），而后者对 π 的估计精确到了百分位（0.01）.
我们会发现分母是一个对精确度要求的明显指标——分母数量级越小，对分子的变化越敏感(想想反比例函数在0点的性态)，于是对估值的精度要求变高.

其实等价无穷小的替换，无非也是这种情况，下面仅说明一例.
我们知道
\(\LARGE ln(1+x) \sim x , \vert x \vert < 1\)

是一对很经典的等价无穷小.

学习了 Taylor公式后，我们知道关于 ln(1+x) 更精确的逼近式：
\(\LARGE ln (1+x) \sim x - \frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\ldots\)

对于极限
\(\LARGE \lim\limits_{x\to 0} \frac{ln(1+x)}{x} = \lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{x} = 1\)

这个时候，用 x 当作 ln(1+x) 的“估计值”，已经够用了（注意分母），而若求极限
\(\LARGE \lim\limits_{x\to 0}\frac{ln(1+x)-x}{x^{2}} = \lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\frac{x^{2}}{2} - x }{x^{2}} = -\frac{1}{2}\)

这是时候用\(\frac{x-x^{2}}{2}\)作为\(ln(1+x)\)的“估计值”，显然比用 x 显得更为适宜（注意分母）.

注意到了什么规律了吗？？？

分母是几阶，泰勒就得展到几阶，这就是所谓的上下同阶原理.