直方图中最大的矩形（笛卡尔树解决）
喵帕斯！
我们来换种思路。
题目大意
分析
假设我们已经会单调栈了，（如果不会可以去看看其他题解），所以单调栈的思想这里我就不再说了。
考虑使用笛卡尔树解决该问题。
什么是笛卡尔树？
笛卡尔树是一种特定的二叉树数据结构，可由数列构造，在范围最值查询、范围top kth查询等问题上有广泛应用。它具有堆的有序性，中序遍历可以输出原数列。笛卡尔树结构由Vuillmin(1980)在解决范围搜索的几何数据结构问题时提出。从数列中构造一棵笛卡尔树可以线性时间完成，需要采用基于栈的算法来找到在该数列中的所有最近小数。（百度百科）
人话翻译如下：
概念：笛卡尔树是一种二叉树，每个节点有两个值\(key\)和\(value\)。
性质：
- 堆的性质。笛卡尔树的树根是这一子树中\(key\)值最小（大）的元素，父节点的键值均小于（或大于）其左右子节点的键值，可以这样递归地弄下去。
- 树的中序遍历即为原数组序列。
如图，这样就是一棵原序列的笛卡尔树。（可以结合之前讲的看一下）
构造笛卡尔树
一般，我们规定按\(key\)为第一关键字排序，（很多时候，\(key\)值即为数组下标）。
用单调栈实时维护当前树中的最右链，模仿递归建树的过程（建虚树也是这种思想啊）。
以维护小根堆为例，在以\(key\)值增序排序后，我们考虑插入一个新点\(i\)，它的值为\(V\)。
我们从栈顶出发，一直找到第一个位置\(pos\)的\(value\)小于\(V\)，因为是小根堆，所以要保证\(i\)是\(pos\)的儿子，又因为当前的\(key\)值大于之前出现过的所有值，所以\(i\)是\(pos\)的右儿子，需要把原来\(pos\)的右儿子变成i的左儿子，代码注释里也有。
然后\(O(n)\)完成对笛卡尔树的构建。
本题的解决
\(key\)值就是数组下标，无需排序，直接高度建树。
然后直接在树上从根节点往下走，每个节点的高度确定，所能扩展的长度即为它的子节点的区间长度，每走到一个节点就去个\(max\)，\(O(n)\)的遍历，总时间复杂度也是\(O(n)\)的（虽然有\(2\)这个常数\(TAT\)）。
注意多组数据的话，及时在回溯时初始化。
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define Re register
#define ll long long
const int N = 100000 + 5;
const int INF = 0x7fffffff;
inline int read() {
int res = 0; bool f = 0; char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = 1; ch = getchar(); }
while (ch <= '9' && ch >= '0') { res = (res << 3) + (res << 1) + ch - '0'; ch = getchar(); }
return f ? (~ res + 1) : res;
}
ll ans;
int n, a[N];
inline ll max(ll a, ll b) { return a < b ? b : a; }
struct Cartesian_Tree {
int sta[N], top, ls[N], rs[N], root;
inline void init() {
top = 0;
for (Re int i = 1;i <= n; ++i) {
/* 用栈来维护最右链，一直找到一个位置pos的a值会小于当前a值 */
while (top && a[sta[top]] >= a[i]) ls[i] = sta[top--];
/*
因为是小根堆，所以要保证i是pos的儿子，又因为当前的key值大于之前出现
过的所有值，所以i是pos的右儿子，需要把原来pos的右儿子变成i的左儿子
*/
if (top) rs[sta[top]] = i;
sta[++top] = i;
}
root = sta[1];
}
inline int dfs(int x) {
if (!x) return 0;
int res = dfs(ls[x]) + dfs(rs[x]) + 1;
ls[x] = 0, rs[x] = 0;
ans = max(ans, (ll)res * a[x]);
return res;
}
}CT;
int main(){
while (1) {
n = read();
if (n == 0) break;
for (Re int i = 1;i <= n; ++i) a[i] = read();
CT.init();
ans = 0;
CT.dfs(CT.root);
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}
