【讲●解】超全面的线段树:从入门到入坟

\(Pre\):其实线段树已经学了很久了,突然想到线段树这个数据结构比较重要吧,想写篇全面的总结,帮助自己复习,同时造福广大\(Oier\)虽然线段树的思维难度并不高)。本篇立志做一篇最浅显易懂,最全面的线段树讲解,采用\(lyd\)写的《算法竞赛进阶指南》上的顺序,从最基础的线段树到较深入的主席树,本篇均会涉及,并且附有一定量的习题,以后可能会持续更新,那么现在开始吧!

关于作者,,,他咕了。。。。


目录一览

  • 更新日志
  • 线段树想\(AC\)之基本原理(雾*1
  • 线段树想偷懒之懒标记(雾*2
  • 线段树想应用之扫描线(雾*3
  • 线段树想瘦身之开点与合并(雾*4
  • 线段树想持久之主席树(雾*5
  • 线段树想带修之树套树(雾*6
  • 线段树想...不,你不想

更新日志

5.19 update:懒标记20%完成。
5.12 update:添加题目链接,然后颓去了
5.11 update:修改部分字词,基本原理基本完成,大纲完成。
5.4 update:基本原理20%完成。

线段树想\(AC\)之基本原理

什么是线段树啊?

首先,你得有的基本知识。

然后。

以下内容摘自百度百科

线段树是一种二叉搜索树,与区间树相似,它将一个区间划分成一些单元区间,每个单元区间对应线段树的一个结点。

很懵?没关系,我们继续。

其实,线段树(\(Segment\) \(Tree\))是一种基于分治思想的二叉树结构,(Q1:为什么一定是二叉?)如果你学过树状数组,你会清楚地知道两者的差异性,并且随着学习的深入,你会发现线段树是一种更为通用的数据结构。

可以说,只要是能满足区间可加性(也就是大区间的信息能由它的两个子区间整理得到)的操作,大都可以用线段树解决。有时可能会有一些奇奇怪怪的操作。。。

最基本的线段树包含以下几个概念:

  1. 线段树每个节点表示一个区间
  2. 线段树的唯一根节点表示整个区间统计范围,如[\(1,N\)]。
  3. 线段树的每个叶节点表示一个长度为\(1\)的元区间,如[\(x,x\)]。
  4. 线段树上的每个节点[\(l,r\)],它的左子节点是[\(l,mid\)],右子节点是[\(mid+1,r\)],其中\(mid=(l+r)/2\)(这是线段树的标准写法,也有其他不同的写法,但作为初学者,还是从标准入手好)。

如图,这就是一棵线段树。我们可以发现,当整个区间统计长度为\(2\)的整数次幂时,整棵线段树一定是一棵完全二叉树(Q2:为什么),那我们就可以用堆的编号方法来给线段树来编号啊(其实图中已经编好了)。

即:

  1. 根节点编号为\(1\)
  2. 编号为\(x\)的节点,它的左儿子编号为\(x*2\),右儿子编号为\(x*2+1\)

这样,我们就可以用一个数组来存所有节点的编号了!
至于正确性,,,既然你都学到线段树了,那就不用我说了吧。。。

诶等等,那万一整个区间长度不是\(2\)的整数次幂呢?

看这张图!

可以惊讶地发现,我们同样可以使用父子二倍标记法。正确性显然,只不过,正是因为这种情况,所以树的最后一层节点编号在数组中的位置可能不是连续的。

如果区间长度为\(N\),在最理想的状况下,即\(N\)\(2\)的整数次幂时,\(N\)个叶节点的满二叉树有\(N+N/2+N/4+...+1=2N-1\)个节点。只要不是这种情况,那就还有一层,所以我们保存线段树节点编号的数组长度要大于等于\(4N\)

于是线段树信息储存如下:

struct SegmentTree {
    int l, r;//每个区间左右端点
    int dat;//区间数据
    //其他一些附加信息
}sak[4*MAX];

当然,线段树的写法多种多样,这是最稳的一种,还有一种是记录左右儿子编号的,后面我们再说,\(zkw\)线段树就不介绍了吧。。。

建树

我们需要从根节点“\(1\)”出发,向下递归建树,并把每个节点所代表的区间赋给它。当到达了根节点,便传值,再向上维护信息。

以维护区间和为例,我们可以这样建树:

inline void build(int p, int l, int r) {
    sak[p].l = l, sak[p].r = r;
    if (l == r) {//叶节点赋值
        sak[p].sum = a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) / 2;
    build(2*p, l, mid);//递归建左儿子树
    build(2*p + 1, mid + 1, r);//递归建右儿子树
    sak[p].sum = sak[2*p].sum + sak[2*p + 1].sum;//向上传递区间和的信息
}

单点修改

显然,每次操作,我们都需要从根节点开始遍历,递归找到需要修改的叶子节点,然后修改,然后向上传递信息。(Q3:正确性)

inline void change(int p, int x, int val) {
    if (sak[p].l == sak[p].r) { sak[p].sum = val; return; }//找到x位置
    int mid = (l + r) / 2;
    if (x <= mid) change(p*2, x, val)
    else change(p*2+1, x, val);
    sak[p].sum = sak[2*p].sum + sak[2*p + 1].sum;//向上传递区间和的信息   

因为整棵树的深度是\(logN\),所以单次修改的时间复杂度为\(O(logN)\)

区间查询

这里直接给出算法过程,正确性显然。

  1. 若当前节点所表示的区间已经被询问区间所完全覆盖,则立即回溯,并传回该点的信息。
  2. 若当前节点的左儿子所表示的区间已经被询问区间所完全覆盖,就递归访问它的左儿子。
  3. 若当前节点的右儿子所表示的区间已经被询问区间所完全覆盖,就递归访问它的右儿子。

以返回区间和为例:

inline ll ask(int p, int l, int r) {
    if (l <= sak[p].l && r >= sak[p].r) {//对应1操作
        return sak[p].sum;
    }
    pushdown(p);
    ll val = 0;
    int mid = (sak[p].l + sak[p].r) / 2;
    if (l <= mid) val += ask(2*p, l, r);//对应2操作
    if (r > mid) val += ask(2*p + 1, l, r);//对应3操作
    return val;	
} 

【例题】Can you answer on these queries 3

需要你提供一种数据结构使之能够查询区间最大连续子段和,并且支持单点修改。

让我们来分析一下,在区间上进行操作自然而然可以想到树状数组或者是线段树。这里单点修改好办,难就难在查询上。

想一想怎么办?或者说,我们如何整理子区间的信息?

仔细思考后,我们会发现,一个区间上的连续最大和只有几种情况:

  1. 连续最大和的区间只在左儿子所对应的区间上。
  2. 连续最大和的区间只在右儿子所对应的区间上。
  3. 连续最大和的区间横跨左右儿子的区间。

\(1\)\(2\)这两种情况好弄,直接继承取最值,可情况\(3\)呢?

除了维护区间和,区间最大连续子段和,我们还需维护紧靠左端的最大连续子段和,以及紧靠右端的最大连续子段和。

于是每次更新时,我们就可以用子区间的信息来更新当前区间了。

具体代码其他的博客也有介绍,但最好自己想一想,我就不打了,因为懒,思维懂了,代码就来了。

【习题】Interval GCD

题目大意:需要提供一种数据结构使之能够查询区间gcd,并且支持区间加法

题解:咕咕咕中。。。

Q&A:

  • A1:既然你都看到这里了,就不用我说了吧。
  • A2:画个图再\(YY\)一下,无需多说。
  • A3:修改的节点只包含在递归时经过的区间中,所以只会对递归时经过的区间产生影响。

线段树想偷懒之懒标记

【引题】A Simple Problem with Intergers

就是叫你实现区间修改,区间查询嘛。

考虑之前讲到的线段树。如果用线段树的单点修改,我们需要先改变叶子节点的值,然后不断地向上递归修改祖先节点直至到达根节点,时间复杂度最高可以到达\(O(nlogn)\)的级别,这还是单次操作,更别说有\(10^5\)次指令了。。。

现在思考,该怎么办呢?

我们想,如果已经到达了属于答案区间范围内的节点,我们就直接对该节点进行一系列的操作,然后直接返回。这样,一定能保证本次区间更新的正确性。(很显然啊),可我们知道,区间更新不只一次,如果照刚刚那样更新而不进行任何后处理的话,那么该节点的子节点都未更新,势必会导致答案错误。于是,我们需要一种东西来记录下节点的更新信息,以便下次更新时处理。

我们考虑引入一个名叫\(lazytag\)(懒标记)的东西——之所以称其为\(lazytag\),是因为当我们引入懒标记后,我们不会去更新已经覆盖答案区间的子节点,只有在接下来的操作中我们才可能会用到该区间的子区间。所以这次操作就无需更新。区间更新的期望复杂度就降到了\(O(logn)\)的级别。(感性理解下)

那如何实现呢?

我们思考前面大家做题遇到的\(pushup\),(没用过的可以去刷刷前面的题了)它的实质是在线段树中向上传递信息,放在递归之后,那我们要做到\(pushdown\),不就是在线段树中从上往下传递信息吗?那就把\(pushdown\)直接放在每次递归之前就行了啊。

于是,我们就可以如此标记。

inline void change(int p, int l, int r, int d) {
    if (l <= sak[p].l && r >= sak[p].r) {
        sak[p].sum += (ll)d*(sak[p].r - sak[p].l+1);
        sak[p].add += d;
        return;
    }
    pushdown(p);
    int mid = (sak[p].l + sak[p].r) / 2;
    if (l <= mid) change(2*p, l, r, d);
    if (r > mid) change(2*p + 1, l, r, d);
    sak[p].sum = sak[2*p].sum + sak[2*p + 1].sum;	
}

顺着代码理思路也是种不错的选择。

咕咕咕中。。。

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posted @ 2019-05-11 20:49  SilentEAG  阅读(1267)  评论(0编辑  收藏  举报