【空间加速结构】——BSP tree和k-d tree

BSP Tree（Binary space partitioning Tree）

BSP（二叉空间分割）树，在游戏工业界非常著名，最早应用的游戏是《Doom》。由于当时的硬件没有Z-Buffer，用BSP树可以实现从后往前渲染保证正确性。当然它也可以用于加速碰撞检测和相交测试。

在计算机图形学中，BSP树有两种形式：多边形对齐（pologyon-aligned）和轴对齐（axis-aligned）。构建BSP树的步骤是选择一个超平面将空间分为两个子空间，并将空间中的geometry划分到这两个空间中，然后递归划分子空间，直到树的深度达到限制条件或geometry被划分完毕时终止。

多边形对齐BSP树

《Doom》用的就是这种BSP树。在多边形对齐BSP树中，多边形的面被选做分割空间的平面。具体的分割方法是：

1. 选一个片元，加入到根节点中。

2. 用这个片元所在的平面将场景中的多边形分为两组。

   1. 如果多边形与这个片元所在的平面相交，那么把这个多边形沿分割平面分为两部分，分别划分到被平面分割的两个空间中。

3. 对分割的子空间递归执行1,2，直到所有多边形的片元都在BSP树中。

考虑到性能，我们要建立一颗左右子树平衡的BSP树，所以在选择分割平面时要保证左右两个空间的多边形数量基本一致。

由于需要N次划分，每次划分后，要在子集中遍历划分平面（logN次遍历），并计算平面左右的片元的数量（logN），以挑选能使左右子树片元数量基本相等的划分平面，所以构造多边形对齐BSP树的时间复杂度为O(NlogN*logN)。

轴对齐BSP树

构造轴对齐BSP树的方法如下。

1. 对要分割的空间，选取其AABB的某个轴，以与这个轴垂直的平面将该空间分为两个部分，并将空间中的物体划分到对应的空间。
2. 对子空间递归执行步骤1，直到树深度到达限制或AABB中包含的图元低于某阈值。

同四叉树一样，会碰到物体与分割平面相交的情况，这个问题的解决思路同四叉树一致，不再赘述。

当碰到这样的划分情况，根节点选择垂直x轴的平面划分，二层的节点选择垂直y轴的平面划分，三层的平面沿着垂直z轴的平面划分，以此类推并循环。这种BSP树叫做k-d tree，在下面介绍。

K-d tree（k-dimensional tree）

k-d tree是一种特殊的BSP树，它的特点有：

• 每一层都是一种划分维度
• 每个节点代表垂直于当前维度的超平面，将空间划分为两部分
• k维空间，按树的每一层循环选取，当前节点为i维，下一层节点为(i+1)%k维。

以下面这个二维空间举例，建立k-d tree以理解它的建树方法。

这样一个空间，以(7, 2)处为根节点，分别以X轴，Y轴，X轴为划分维度，划分结果是：

K-d tree虽然可以划分区域但是不好用，当节点发生变化时建树比较麻烦。

但它很适合用来做最临近查找。

用上述构建好的k-d tree为例，搜索(3, 5)的最近邻，

1. 首先从根节点出发，将根节点设为最近邻，对tree进行深度优先遍历。以(3, 5)为圆心，到(7,2)的距离为半径做圆，可以看出(8,1)右侧的空间与该圆不相交，所以这个子树被剪枝。
2. 从根节点递归遍历到左子数根节点(5,4)，最近邻得到更新，同理以到最近邻的距离做圆，可以剪枝掉(7, 2)的右侧空间。
3. 继续遍历(5, 4)的左右节点，发现与最近距离相等，不必更新最近邻。
4. 最后可得最近邻为(5, 4)。

kd-tree一般与四叉树/八叉树混合结合使用，它们用来做大粒度的划分和查找，使用k-d tree进行临近的划分和查找。

参考

[1] 空间数据结构(四叉树/八叉树/BVH树/BSP树/k-d树) - KillerAery - 博客园

[2] yilingui.xyz/attachments…

[3] Real-Time Rendering, Third Edition