01背包

01背包问题：

 

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

c[i][m]=max{c[i-1][m],c[i-1][m-w[i]]+p[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入重量为m的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为c[i-1][m]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的重量为m-w[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是c[i-1][m-w[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值p[i]。

测试数据：
10,3
3,4
4,5
5,6

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排 c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)

public class Pack01 {

    public int [][] pack(int m,int n,int w[],int p[]){
        //c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值
        int c[][]= new int[n+1][m+1];
        for(int i = 0;i<n+1;i++)
            c[i][0]=0;
        for(int j = 0;j<m+1;j++)
            c[0][j]=0;
        //
        for(int i = 1;i<n+1;i++){
            for(int j = 1;j<m+1;j++){
                //当物品为i件重量为j时，如果第i件的重量(w[i-1])小于重量j时，c[i][j]为下列两种情况之一：
                //(1)物品i不放入背包中，所以c[i][j]为c[i-1][j]的值
                //(2)物品i放入背包中，则背包剩余重量为j-w[i-1],所以c[i][j]为c[i-1][j-w[i-1]]的值加上当前物品i的价值
                if(w[i-1]<=j){
                    if(c[i-1][j]<(c[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1]))
                        c[i][j] = c[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1];
                    else
                        c[i][j] = c[i-1][j];
                }else
                    c[i][j] = c[i-1][j];
            }
        }
        return c;
    }

public int[] printPack(int c[][],int w[],int m,int n){37 　　int x[] = new int[n];
　　//从最后一个状态记录c[n][m]开始逆推
　　for(int i = n;i>0;i--){
　　　　//如果c[i][m]大于c[i-1][m]，说明c[i][m]这个最优值中包含了w[i-1](注意这里是i-1，因为c数组长度是n+1)
　　　　if(c[i][m]>c[i-1][m]){
　　　　　　x[i-1] = 1;
　　　　　　m-=w[i-1];
　　　　}
　　}
　　for(int j = 0;j<n;j++)
47　　　　System.out.println(x[j]);
　　　　return x;
49　　}