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最长上升子序列

先dp，O(n^2)太慢了，超时。10000的规模需要1千万，不可接受，5000000可以接受。

#include <stdio.h>

int signal[40001];
int length[40001];
int main()
{
    int test,p;
    scanf("%d",&test);
    for(int t=1;t<=test;t++){
        scanf("%d",&p);
        for(int i=1;i<=p;i++)
            scanf("%d",&signal[i]);
            
        for(int i=1;i<=p;i++){
            int temp=0;
            for(int j=1;j<=i-1;j++)
                if(signal[j]<signal[i] && temp<length[j])
                    temp=length[j];
            length[i]=1+temp;   
        }
        int max=0;
        for(int i=1;i<=p;i++)
            if(length[i]>max)
                max=length[i];
        printf("%d\n",max);   
    }
}

先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法，设A[t]表示序列中的第t个数，F[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F[t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])。

    根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。

　　注意到D[]的两个特点：

　　(1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。

　　(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。

　　利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[t]与D[len]。若A[t] > D[len]，则将A[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A[t]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[t]。令k = j + 1，则有D[j] < A[t] <= D[k]，将A[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，同时更新D[k] = A[t]。最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。

代码如下：

#include <stdio.h>

int signal[40001];
int bkt[40001];

int find2(int left,int right,int x)
{
    for(int i=right;i>=left;i--){
        if(bkt[i]<x)
            return i;   
    }
}
int main()
{
    int test,p;
    scanf("%d",&test);
    for(int t=1;t<=test;t++){
        scanf("%d",&p);
        for(int i=1;i<=p;i++)
            scanf("%d",&signal[i]);
            
        int len=1;
        bkt[1]=signal[1];
        for(int i=2;i<=p;i++){
            if(bkt[len]<signal[i]){
                len++;
                bkt[len]=signal[i];   
            }
            else{
                int k=find2(1,len-1,signal[i]);
                if(bkt[k+1]>signal[i])
                    bkt[k+1]=signal[i];   
            }
        }
        printf("%d\n",len);
    }
    return 0;
}

在查找时可以用二分查找，速度更快

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX 100000
long stock[MAX+1];
long bkt[MAX+1];

int main()
{
    int n;
    int i,k;
    while(cin>>n)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
            cin>>stock[i];
        int len=1;
        bkt[1]=stock[1];
        for(i=2;i<=n;i++){
            if(bkt[len]<stock[i]){
                len++;
                bkt[len]=stock[i];   
            }
            else{
                //k=find2(1,len-1,stock[i]); //find argmax{bkt[k]<stock[i]}
                int left=1,right=len-1;
                int mid;
                while(left<=right){
                    mid=(left+right)/2;
                    if(stock[i]>bkt[mid])
                        left=mid+1;
                    else
                        right=mid-1;
                }
                if(bkt[left]>stock[i])       //left is the one next to the largest one smaller than stock[i]
                    bkt[left]=stock[i];
                
            }
        }
        cout<<len<<endl;
    }
    return 0;
}