【模板】生成函数 I

多项式与形式幂级数

1. 多项式：\(A(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_ix^i\)。
2. 形式幂级数：\(A(x)=\sum\limits_{i\ge0}a_ix^i\)。形式幂级数不用考虑其收敛域。

形式幂级数（多项式）的运算

设 \(A(x)=\sum\limits_{i\ge0}a_ix^i,B(x)=\sum\limits_{i\ge0}b_ix^i\)。

1. \(A(x)+B(x)=\sum\limits_{i\ge0}(a_i+b_i)x^i\)
2. \(A(x)-B(x)=\sum\limits_{i\ge0}(a_i-b_i)x^i\)
3. \(A(x)\cdot B(x)=\sum\limits_{k\ge0}\sum\limits_{i+j=k}(a_i\cdot b_j)x^i\)
4. 记形式幂级数（多形式）\(A(x)\)的 \(x^n\) 的系数为 \([x^n]A(x)\)。

常生成函数

定义：一个数列 \(\{a_n\}\) 对应的常生成函数为 \(A(x)=\sum\limits_{i\ge0}a_ix^i\)。

形式幂级数的逆元

1. 形式幂级数 \(A(x)\) 的逆元：\(A(x)B(x)=1\)。
2. 逆元存在的条件：\([x^0]A(x)\ne0\)。
3. 逆元可用于简化运算。
   
4. \(1+x+x^2+\dots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\)。
5. \(1+x^{a}+x^{2a}+\dots+x^{na}=\frac{1-x^{an+a}}{1-x^a},a\in N_{+}\)。

生成函数与递推数列的关系

指数生成函数

定义：一个数列 \(\{a_n\}\) 对应的指数生成函数为 \(A(x)=\sum\limits_{n\ge 0}a_n\frac{x^n}{n!}\)。

1. \({exp(x)}^a=exp(ax)\)。
2. \(exp(x+y)=exp(x)exp(y)\)。
3. \(\frac{exp(x)+exp(-x)}{2}=1+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\dots\)
4. \(\frac{exp(x)-exp(-x)}{2}=\frac{x}{1!}+\dots+\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\dots\)