浅谈欧拉图

定义

欧拉回路：图中能经过每条边且每条边只经过一次的回路

欧拉路径：图中能经过每条边且每条边只经过一次的路径

欧拉图：有欧拉回路的图叫做欧拉图

半欧拉图：没有欧拉回路但有欧拉路径的图

判定

无向图：

欧拉图：图为连通图且每个点的度数为偶数

证明：

必要性：使用反证法，假设一个欧拉图中有一个点的度数为奇数，设这个点进入了\(x\) 次，每进入一次必要出去（若从这个点为起点，开始时出去必要回来），则该点的度数应为\(2x\) ，与这个点的度数为奇数矛盾，故所有点的度数必为偶数

充分性：因为图为连通图，所以每个点的度数不为\(0\) ，且每个点的度数都为偶数，则整个图的度数和\(\ge 2n\) 所以这个图必定有环，假设选择一个环，删除掉这个环，接下的图必定还有环，选择一个与上一个环有公共端点的环，将他和上一个环合成一条回路，再删去它，重复这个操作，直到整个图被删掉，这个回路就是这个图的欧拉回路，故这个图必有欧拉回路

半欧拉图：图为连通图且除了两个点度数为奇数，其他每个点的度数为偶数

证明和欧拉图类似

有向图

欧拉图：图为连通图且每个点的入度和出度相同

半欧拉图：图为连通图且除了一个点入度比出度多\(1\) ，一个点出度比入度多\(1\) ，其他每个点的入度和出度相同

证明和无向图类似

生成

一般使用hierholzer算法。

思路：任选一个点，从这个点开始访问未访问的边，直到没边可以访问，此时必定回到了起点，然后再重复此过程即可

代码实现：

void dfs(int u)
{
	for(int i=h[u];i<a[u].size();i=h[u])
	{
		h[u]++;//删掉被访问的边
		dfs(a[u][i]);
	}
	q.push(u);
}

时间复杂度：\(O(m)\)

记得要删掉被访问过的边，不然会被卡到\(O(m^2)\)

练习

luoguP7771：板子题，把每条边按照字典序排序后找欧拉回路即可

luoguP1341：也是板子题，把每个字母看成一个点即可

luoguP1333：把每个颜色看成一个点，把木棍看成边，判断有没有欧拉回路即可

CF209C：把每个有边的连通块依次合并，合并过程中分类讨论一下即可