分块入门

在这你可以看到全oier中最弱的分块水平

理论

分块是一种思想，把一个整体划分为若干个小块，对整块整体处理，零散块单独处理。
分块不要求答案之间具有结合律，所以可以解决一些用线段树难以解决的问题。
分块的块长需要根据题目来进去调整，可一般来说，块长一般为 \(\sqrt{N}\)
比如对于这题来说，我们预处理好每个块的和。
对于修改操作，我们给整块打上加标记，散块直接暴力处理即可；

int l1=cx[l],r1=cx[r];
if(l1==r1)
{
	for(int i=l;i<=r;i++)
			sum[l1]+=x,a[i]+=x;
}
else
{
	for(int i=l;i<=l1*size;i++)
		sum[l1]+=x,a[i]+=x;
	for(int i=l1+1;i<r1;i++)
		mark[i]+=x;
	for(int i=(r1-1)*size+1;i<=r;i++)
		sum[r1]+=x,a[i]+=x;
}

对于查询操作，我们直接加上整块和散块的答案即可；

int s=0;
int l1=cx[l],r1=cx[r];
if(l1==r1)
{
	for(int i=l;i<=r;i++)
		s+=a[i]+mark[l1];
}
else	
{
	for(int i=l;i<=l1*size;i++)			
      s+=a[i]+mark[l1];
	for(int i=l1+1;i<r1;i++)
		s+=sum[i]+mark[i]*size;
	for(int i=(r1-1)*size+1;i<=r;i++)
		s+=a[i]+mark[r1];
} 
return s;

这样我们优雅的暴力就打好了，我们来分析一下时间复杂度，假设我们的块长为\(B\)，对于每次操作，最多有\(\frac{N}{B}\) 块，散块最多长为\(B\) ，复杂度是\(O(\frac{N}{B}+2B)\) 。
当\(B\) 取到 \(\sqrt{N}\) 是，复杂度为\(O(3\sqrt{N})=O(\sqrt{N})\) ,所以总体复杂度就是\(O(M\sqrt{N})\) 。

练习

luogu P2801

对于这一题我们发现用线段树不好解决，又发现询问次数非常小，于是尝试使用分块。
我们对于每个块排序，查询时就能用二分查询了。
对于修改操作，我们对整块打上标记，对散块暴力修改后再排序

int l1=cx[l],r1=cx[r];
if(l1==r1)
{
	for(int i=l;i<=r;i++)
		sum[l1]+=x,a[i]+=x;
	for(int i=l1*size-size+1;i<=min(l1*size,n);i++)
		b[i]=a[i];
	sort(b+(l1-1)*size+1,b+min(l1*size,n)+1);
}
else
{
	for(int i=l;i<=l1*size;i++)
		sum[l1]+=x,a[i]+=x;
	for(int i=l1*size-size+1;i<=l1*size;i++)
		b[i]=a[i];
	sort(b+(l1-1)*size+1,b+l1*size+1);
	for(int i=l1+1;i<r1;i++)
		mark[i]+=x;
	for(int i=(r1-1)*size+1;i<=r;i++)
		sum[r1]+=x,a[i]+=x;
	for(int i=r1*size-size+1;i<=min(r1*size,n);i++)
		b[i]=a[i];
	sort(b+(r1-1)*size+1,b+min(r1*size,n)+1);	
}

对于查询操作，我们对整块二分查询，对散块暴力查询

int s=0;
int l1=cx[l],r1=cx[r];
if(l1==r1)
{
	for(int i=l;i<=r;i++)
		if(a[i]+mark[l1]>=x)s++;
}
else
{ 
	for(int i=l;i<=l1*size;i++)
		if(a[i]+mark[l1]>=x)s++;
	for(int i=l1+1;i<r1;i++)
	{
		int L=(i-1)*size,R=i*size;
		if(R>n)R=n;
		int o=R;
		while(L+1<R)
		{
			int mid=(L+R)>>1;
			if(b[mid]+mark[i]>=x)R=mid;
			else L=mid;
		}
		s+=o-R+1;
		if(b[R]+mark[i]<x)s--;
	}
	for(int i=(r1-1)*size+1;i<=r;i++)
		if(a[i]+mark[r1]>=x)s++;
} 
return s;

对于修改的时间复杂度:\(O(log(\sqrt{n})\sqrt{n})\) 。
对于查询的时间复杂度:\(O(log(\sqrt{n})\sqrt{n})\) 。
总时间复杂度为:\(O(qlog(\sqrt{n})\sqrt{n})\) ,可以通过此题。