【SCOI2010】生成字符串

一个广为流传的$trick$，然而我现在才学会。

题面

https://www.luogu.org/problem/P1641

题解

在任意的前k个字符中，1的个数必须大于等于0的个数。

我们把放一个$1$视为向右走一步，放一个$0$视为向上走一步，现在答案就转换为从$(0,0)$开始，走到$(n,m)$，并且不能跨越$y=x$，有多少种方案数。

对于不合法的方案数：如果经过了$y=x+1$，我们就把它右下角的部分沿此直线翻折，这样就变成了从$(-1,1)$走到$(n,m)$的方案数，不难发现这样是一一对应的（从$(-1,1)$到任意一个终点都需要跨越$y=x+1$）。所以这个问题的答案就是$C_{n+m}^{n}-C_{n+m}^{n+1}$。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define ri register int
#define mod 20100403
using namespace std;
int n,m;

int pow(int a,int b) {
  int ret=1;
  for (;b;b>>=1,a=a*1LL*a%mod) if (b&1) ret=ret*1LL*a%mod;
  return ret;
}

int C(int n,int m) {
  int s=1,d=1;
  for (ri i=n;i>=n-m+1;i--) s=s*1LL*i%mod;
  for (ri i=1;i<=m;i++) d=d*1LL*i%mod;
  return s*1LL*pow(d,mod-2)%mod;
}

int main() {
  cin>>n>>m;
  cout<<(C(n+m,m)+mod-C(n+m,m-1))%mod<<endl;
  return 0;
}