20200823-矩阵的收尾与离散控制的跌跌撞撞

进度日志

• 公共课一: 政治
• 公共课二: 英语一
• 业务课一: 数学一
• 业务课二: 自动控制原理, 信号与系统, 嵌入式系统

20200823 日 雨雨晴

• 上午. 矩阵习题收尾... 看来进入一元积分的计划得推迟到明天了... 这样就是比预期延迟两天了... 战况有点不对劲...
• 下午. 离散控制系再进入. 有点艰难. 只能跟着现代控制系统看了两个不到的块.
• 晚上. 暴食警告. 不行.
• 英语单词... 状态持续低迷. 均未达标. 甚至未达标一半. 而此时的目标已被下调至原先的一半. 意味着你今天连以往的四分之一都没完成.

公共课一

NONE

公共课二

• 单词一组不到一半...

业务课一

线性代数-习题-矩阵

• 0825... 又拖延了两天是么...

• 感觉关键是几个算子. 如果把求逆, 求伴随, 求转置, k次方幂, 求其多项式, 看成一个算子的话. 总觉得空中各种飞来飞去...

  • 一个非对称矩阵, 其伴随矩阵居然是对称阵? 这自然么..
  • 对称阵的伴随矩阵, 与其他矩阵有什么区别吗?
  • A的伴随矩阵可逆, A不可逆, 可能吗?
  • 矩阵A和其伴随矩阵. 可逆性, 对称性, 有什么联系?
  • 这些算子改不改变可逆性, 对称性? *, T, -1, ^k, f()

• 初等变换改变矩阵的迹吗?

• \(|A^{-1}|^{-1}\) 这内外两个算子一样吗?

• 注意到\(|cA|=c^n|A|\) 和 从行列式的某一行或者某一列中提取一个公约数, 不一样的.

  • 就感觉, 以前都以为提出来多了n次, 是行列式的锅, 但其实不是. 行列式算子并不是原因. 应该是矩阵算子. 矩阵乘以一个常数, 等于矩阵把这个常数吸收到每一行每一列了, 如果把矩阵当做一个算子, 就会觉得矩阵很贪. 而行列式却不一样, 它提每一行的公约数出来, 那就是在外面乘以该数. 不需要多乘以其他的这么多.

• 而且对比\((cA)^*=c^{n-1}A^*, |A^*|=|A|^{n-1}\), 反正只要涉及到伴随矩阵, 就会有\(n-1\), 应该与其内部是由A的余子式所组成的脱不了干系. 你看秩.

• \(|2E-B|, |B-2E|\), 什么区别?

  • \(|2E-B|=|(-1)(B-2E)|=(-1)^{n}|B-2E|\)

• 看到矩阵 \(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\) , 你第一反应是想到了Jordan? 但...

• 上三角矩阵的逆, 有什么快速写出的方法吗?

  • 逻辑推理? 注意不要被耦合?

• 把AX=E, 解矩阵方程, 写成了AX=0... 这怎么求? 基础解系写出来后的X是什么样的?

• 反对称!!! omg...

• 注意下面俩是可以相乘的.

  \[\alpha=\begin{pmatrix} * \\ *\\ \vdots \\ * \end{pmatrix}, E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots &\\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix} \]

  不要看到\(\alpha^TE\) 就发愣了. ok的. 没问题的, 乘地很棒的.

• 来了, 乘法交换律.

• \(A^mA^p=A^pA^m=A^{m+p}\) , 注意到k次方幂是可交换的.

  • 但是一般地 \((AB)^k\neq A^kB^k\), 是不是
  • 是不是想到了状态转移矩阵的性质?

• 注意到\(A^TA\neq AA^T\)

  • 若A不为方阵则显然, 但A即使为方阵, 它也不一定成立. 即不满足Operator T, 一般不支持乘法交换律.

• 看到\((A^{-1}+B^{-1})^{-1}\) 怎么办?

  • 思路. 无中生有? 但其实你看到矩阵时要随时想到,

    \[A^{-1}=EA^{-1}E\\A^{-1}=B \Leftrightarrow A^{-1}+E=B^{-1}+E \]

  • 这是一种思路, 你很欠缺. 你的思维虽然让人感觉是跳跃的, 但是你的逻辑却是朴实的. 只从有的开始, 不会想到加上其他的.

• 注意到\(AB=0, 则有|AB|=|A||B|=|0|=0\)

  • Operator | |, 在两边同时取"模"的情况, 十分好用. 因为对于方阵, 它几乎没有任何条件需要满足. 可能唯一需要满足的就是方阵.

• 嗯, 回到算子, k次方幂.

  • 如果一个矩阵, 它的k次方幂为零, 而k-1次方幂不为零, 能说明该矩阵和k是个什么关系呢? 广义特征向量?

• 我们都知道矩阵A并不孤单, 每个矩阵(方阵)都有其伴随矩阵陪着. 所以拿到一个矩阵, 找他的一个伴随矩阵的时候, 可以先初步观察求该矩阵的秩.

  • 若满秩, 则其伴随矩阵也满秩, 其秩为n-1, 则伴随矩阵秩为1, 秩再小下去, 其伴随矩阵秩就是零了.

  • 而什么时候矩阵秩为零? 其为零矩阵的时候.

  • 一个矩阵的伴随矩阵是零矩阵... 好吧, 只能说还是挺孤单... 只有零元素 null... 等等, null和零还不完全一样呢. 起码ascii码就不一样. 你要看它的零有没有意义.

  • 但是, 你也要注意, 灵活利用伴随矩阵的秩, 比如说如果一个三阶矩阵, 其秩为2, 则该矩阵的伴随矩阵的秩为1. 此时若让你求该伴随矩阵的伴随矩阵, 那就别求啦, 直接是零矩阵了.

    \[r(A^*)=\begin{cases} n, & r(A) = n;\\1, & r(A) = n-1;\\ 0, & r(A)\lt n-1.\end{cases} \]

• ポッド, 你是怎么观察敌机体的? 观察一个矩阵的秩, 拿到手直接初等行变换??

  • 该改一改啦!

    \[\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{pmatrix} \]

  • 别着急行变换, 你先把各列试着减一减, 比如第三列减去第二列, 第二列减去第一列. 这明显是有规律的嘛. 每一行的后一个元素和前一个元素都相差1.

  • 你怎么反应不过来呢? 是太着急想把它做出来, 所以直接忙手忙脚地行变换? 观察啊! 树枝啊! 白之契约好用, 但是, 不够... 优雅?

• 上面是0822的作战报告. 接下来还有一半...

• 对思路的分析, 挥舞着白之契约的招式是什么样的.

  • 觉得你的思路, 很不擅长构造出题干中所没有的东西. 比如

    \[A^{-1}=EA^{-1}E\\A^{-1}=B \Leftrightarrow A^{-1}+E=B^{-1}+E \]

  • 其实题目中更能反映出来. 比如让你求\((A+2E)^{-1}\)

    给你条件 \(A^2-2A+E=0\)

    你怎么想到\((A+2E)(A-4E)+9E=A^2-2A+E=0\)

  • 这个A-4E, 和 9E, 真的有够难想的对于现在的2B.

• 嗯, 接下来是矩阵和其伴随矩阵.

  • 都伴随了, 成天陪着你呢, 你不去了解她么?
  • \(AA^*=A^*A=|A|E\) , 不错, 体现了其符合交换律. 不像某个矩阵, 转置\(A^TA\neq AA^T\) 不恒等于. 当然也要看, 这有些和谐的矩阵转置矩阵对就可以交换(体位). /逃 警察叔叔别抓我...
  • 还不够. 是的, 还不够. 白之契约还需要多加熟练快速连贯地挥舞.
  • $\displaystyle A^{-1}= {A^*\over |A|} $, 这很正常, 还不够.
  • $ \displaystyle (A^*)={A\over |A|}$ , 这差不多.

• 步骤体现思路. 不要自大, 要提醒自己别人其实看不懂你的简略的天马行空的步骤, 要一步一步循循善诱一样, 如果能把这个给你还在读幼儿园的弟弟都讲明白了, 这才是思路.

  • \(\displaystyle A= {1\over 2}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\ 0 & 3 & 0\end{pmatrix}\)
  • \(\displaystyle |A|=({1\over 2})^3 \sdot (-1)\sdot 6={1\over 8}\sdot (-6)=-{3\over 2}\)

• 注意到\(\displaystyle (cA)^*=c^{n-1}A^*, |cA|=c^{n}|A|\)

• 嗯. 你的思路. 你好像擅长根据题给条件一步一步推出, 最喜欢的是从两个方向出击最后汇聚到一起.

  • 一个栗子: \(AB=2A+B\), 告诉你A, 让你求\(|B-2E|\), A, B均为3阶矩阵.

  • 答案解析给的方法, 依旧是很跳跃. 让人神往.

    \(AB-2A-B+2E=2E\\A(B-2E)-(B-2E)=2E\)

    其实看着可能还行, 把东西一股脑移到左边也可以琢磨出来.

  • 但是你不擅长. 你喜欢两线出击, 钳形攻势~

    AB-2A=B	AB-B=2A
    A(B-2E)=B	(A-E)B=2A
    |A||B-2E|=|B|	|A-E||B|=|2A|
    已知A, 等待右侧集团军抵达攻占|B|点	已知A, 解出|B|
    从右侧已知|B|, |B-2E|被拿下	合围

  • 可能你喜欢这样的思路较多. 两线出击最后汇合. 感觉很不错.

• 注意到\(A^2\sdot A^{-1}=A\) 快速反应, 不要迟钝.

  • 具体敌方机体, \(BA=A^2-E\)
  • 两边同时乘以\(A^{-1}\) , 即得\(B=A-A^{-1}\)
  • 当然了\(|A|\neq 0\)

• 如何快速求出简单的矩阵的逆矩阵.

  • 逻辑分析, 行列变换, 还是很精彩的. 但要注意先后顺序, 不要丢失耦合造成的影响, 也不要多加上耦合影响.

    栗子: \(\displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, A^{-1} = \ ?\)

  • 不着急用伴随矩阵, 先看看\(AB=C\), A对B都做了什么? 左乘的话行变换, 如果要重新得到B, 那么就要用从C用逆着的行变换反推回B, 即\(A^{-1}C=B\)

    • 按行来看. 从下往上看, 可以看出A左乘B后, 其实B的最后一行没有发生变化. 于是写出所需要的逆变换阵的最后一行:

      \[\displaystyle \begin{pmatrix} \times & \times & \times\\\times & \times & \times\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \]

    • 接着看倒数第二行, 嗯. 从B的第二行减去B的第三行, 或者说把B的第三行乘以-1, 加到B的第二行. 那么简单, 逆过来就是把B第二行重新加一个第三行就行了啰.

    • 但要注意的是, 需要确认第三行是否是第三行. 我们看到, AB后, 第三行没有变, 重新加至第二行不会产生耦合情况. 于是, 逆变换阵的第二行便得到了, 其为:

      \[\displaystyle \begin{pmatrix} \times & \times & \times\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \]

    • 嗯, 看着挺美的. 但接下来才是重中之重.

    • 第一行, 看着好像就是把第一行减掉第二行, 没什么大不了的, 重新加个第二行呗.

    • 等一下. 确认一下, 加的这个第二行, 是原来的第二行么? 不对吧. 第二行其实是减去了第三行的吧. 也就是说

  • 卡住了...陷在耦合里出不来了... 按理说负负得正, 相当于第一行加上了第三行, 这里应该是减去才对...

    • 嗯... 再来看一下, AB=C ,

      \[\displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \]

    • A对B的第一行和第二行的操作, 它是减去的是已经减去一倍的第三行的第二行, 所以, 第一行它减去的, 其实相当于不但减去第二行, 还减去了第三行.

    • 而不是你刚才考虑的, 负负得正, 相当于加上第三行.

    • 于是, 添上第一行得到最终的逆矩阵:

      \[\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \]

    • 唔... 这耦合... 要不是有答案我还真又被绕进去了...

    • MIT... 吉尔伯特老爷子等等我... (Gilbert Strang)

• 你的小刀是什么样的?

  • 你的思维是跳跃的, 但是你的逻辑推理确实朴实的. 一旦写到纸上的时候, 你有点难以从没有的东西中发现东西. 你只习惯从题给条件入手, 而你的着急却使你不仔细审题, 也不留意其隐含条件, 最可怕的是那些经典的计算, 抄错, 漏乘, 忘记乘进括号, 不等式忘记颠倒符号, 思维太快, 太懒. 不想停下来等等手里的笔, 也不想知道自己到底有没有出错, 就想做完了事. 你的熵增愿望太强烈了. 这是长处, 也是短处.

• 两个矩阵, 其相乘若得到可逆阵, 则说明了什么?

  • 说明这两个矩阵均可逆! (行列式判断)
  • 相乘得到可逆阵的矩阵们均可逆.
  • 只有可逆矩阵之间的相乘才有可能得到可逆矩阵.
  • 只要矩阵乘法中, 存在一个矩阵不可逆, 则得到的结果不可逆.
    • 能否逆到那个步骤之前? 好像不能...
  • 线性变换链中, 只要有一个不可逆, 那么整个都不可逆, 如何挽救?

• 灵活利用"算子" Operator 6O~ 取"模", 求行列式. 该算子除了行列相同外不需要任何条件. (其实也就是不论可逆与否, 均可以两边同时取行列式"取模", 其他对于矩阵来说, 也构不成条件...)

  • 对了, 解矩阵方程前. 得先看一下其是否可逆, 是否可解.(矩阵方程何时有解? 均可解? 唯一性?)
  • 栗子: \(X(A-E)=A^T\), 已知A可逆. 为了解X, 先来看其是否可解. 也就是(A-E)是否可逆. 当然, 从A可逆, 我们无法推出A-E可逆, 因为算子减法实在是太宽泛了, 影响太大, 难以保持可逆性.
  • 但是可以通过算子转置T, 不改变可逆性的特性, 得出\(|A^T|\neq 0\), 两边同时用算子"取行列式" 进行操作, 得\(|X||A-E|=|A^T|\)
  • 加上上述的讨论, 这样就保证了X和(A-E)的可逆性.(的确认, 事先说明, 逻辑的完备)

• 所以, 再每一个步骤进行前, 都得看看是否可行, 满不满不足条件. 在解控制理论的题的时候也是如此, 比如终值定理你得看一看输出的拉普拉斯变换它是不是在s右半平面没有极点, 且在虚轴上也没有虚根. 等等.

• 这是你的小刀. 你得磨利索了. 就和2B在映射空间中挥舞白之契约一样. 当然, 如果习惯可以切到树枝, 引擎剑啥的, 那是再好不过了. 只是那比较难...

• 最后一点零碎的提醒.

  • 时刻注意矩阵空间的"算子们"对矩阵可逆性, 乘法可交换性, 的影响.

  • 算子们: 对矩阵取转置, 取逆, 取伴随, 取行列式(模), 取k次方幂, 取多项式...

    • 其实取逆和k次方幂的联系有点像导数里面的幂级数和ln... 感觉... 总感觉... whatever next time...

  • 奥, 漏了一个, 乘初等变换.

  • 诶, 还有个... 恒等变化? 什么是恒等变换?

    • 等式两边同时乘以一个可逆矩阵, 称为恒等变换.
    • 嘛, 看来是和初等变换联系在一起的. 因为每个初等变换矩阵都可以分解为若干个可逆矩阵的乘积. 分解到最后就是单位阵E/I (elementary, Indentity)

  • 加减啥的... 太宽泛了... 变化有点大...

  • 但是其和n次方幂结合在一起就特别... 难搞...

    \(C=\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0\\1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}\)

    \(\displaystyle C^n= \begin{pmatrix} 1 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}^{n} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} + n\begin{pmatrix} 0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix}\)

• 分块矩阵的逆!!!

• 最后一点...

交换的揍性(A,B均可逆)	内子和外人(A,cA均可逆)
$$ (AB){-1}=B A^{-1}$$	$$(AT)=(A{-1})T$$
$$(AB)T=BTA^T$$	$$(cA){-1}=cA^{-1}$$
\((AB)^*=B^*A^*\)	$$(Ak)=(A{-1})k$$
	\((A^k)^*=(A^*)^k\)

• ... 这矩阵是什么揍性... 交换律不满足, 不能调换位置, 合起来操作一下就可以调换位置了??? 不过左右虽然不能常调换, 但里外好像还行挺勤快的.
• 嗯... 以上... 这都8月25号下午6点了...

业务课二

离散控制系统-教材

• 头疼的zz变换

  • 延迟定理今后用的多.
  • z反变换的部分分式展开时, 注意是\(\displaystyle E(z)\over z\) 来反变换, 而后乘以z.
  • 前向差分, 后向差分.
  • 差分方程: 既可以从前向定义, 也可以从后向定义.

• ... 头疼, YoRHa机体无一幸免. 似乎区域尚未开放.

• 要意识到, 计算机运算能力的提高, 为其在当代控制理论和设计中的应用, 带来了革命性的变化.

  • 高速度, 低价格, 小尺寸.

• 数字控制系统的优点有哪些?

  • 数字编码信号: 数字通信, 传输信号. 降低对噪声的灵敏度.
  • 数字传感器与变换器: 敏感能量较低的信号, 故测量的灵敏度提升
  • 微处理器: 信号处理, 控制装置, 融为一体. 编程, 方便控制算法的重建与复用.

• 采样信号与原信号的数学表达式解析关系是什么?

  • \(\displaystyle r^*(t)=\sum_{k-0}^{x} r(kT)\delta(t-kT)\)

• 模数转换器与采样器是什么关系?

  • 等效为采样开关?

• 数模转换器与零阶保持器什么关系?

  • D/A可以用零阶保持器来表示.

• 注意采样器与零阶保持器串联.

  • 当采样周期趋于无穷小时(采样越来越频繁), 输出信号就趋近与输入信号.

• 数字控制系统中, 有哪两类误差? (精度)

  • 数字编码量化误差. D/A
  • 计算机字长误差. CPU位数

• 什么时候可以忽略上述两种误差?

  • 相较于信号幅值而言其很小.
  • 一般没什么问题吧. 现在处理器位数越来越大, 振荡频率越来越高, 模数数模转换器的位数也一般足够.

Question-Flash-Point

• 延迟和未来到底是什么关系? 延迟, 未来.

  • \(Z[e(t-nT)]=z^{-n}E(z)\)
  • \(\Delta e(k)=e(k+1)-e(k)\)
  • 第一种说他-nT是延迟
  • 第二种说他k+1是未来.
  • 你参照物真的不懂.

• 数字控制系统与采用控制系统有什么区别?

• 什么是集成度?

  • 每立方厘米中的有效元件数目.

• 推导矩阵方幂的时候, 请试着在步骤中体现出数学归纳法的逻辑.

• 单位矩阵的表示: E和I, 不要拘泥于形式主义.

  • 其可以两种方式看待. 因为初等矩阵是Elementary Matrices, 而其的产生离不开对单位矩阵进行一系列操作, 故记为E.
  • 而I的记号. Identity.同一性. 任何矩阵与单位矩阵相乘, 其都为其本身. 这一点也最为明显和易于被重视. 故称为Identity Matrices.
  • 不要拘泥于形式主义. 当然你去了解背后的记号由来对记忆也是有帮助的. 比如共轭转置为什么在有些书里记为*, 而该记号在线代中被我们记为伴随矩阵. 与此同时其记号为adj().
  • 记号么... 还是很有意思的. 帮助人们表达良质. 记号可以体现思维逻辑的侧重点吧.

• A如果可逆, 则其与其他任意矩阵相乘, 均满足交换律吗? 即其左乘一个矩阵, 等于右乘一个矩阵吗? (方阵)

  • 例子: A^2-BA=E
  • A(A-B)=E
  • (A-B)A=E

• "嚣张"的秩为一的矩阵

  • \(r(B)=1, B^2=2B, B^n=2^{n-1}B\)
  • ... 为啥...

• 对了, A的转置与A相乘, 什么时候才能满足交换率?

  • \(A^TA \neq AA^T\)
  • A可逆满足乘法交换吗?