20200817-三大公式的结束-频域法的再探

进度日志

• 公共课一: 政治
• 公共课二: 英语一
• 业务课一: 数学一
• 业务课二: 自动控制原理, 信号与系统, 嵌入式系统

20200817 月 雨阴凉

• 上午. 三大公式习题战役结束. 清点收容伤员过程中, 预计明日中午前解决. 但仍不能掉以轻心... 之前的第九章还是得再过一遍. 不过在此之前可以缓一星期, 是时候开始一会儿线性代数或者是概率论了. 其实今天上午三个五十分钟就做了6道题= =, 订正了... 我看看, 两道... /苦笑... 虽然安排给第十章一周时间, 也不带这么慢的...
• 下午. 经典控制理论. 驾驶机体穿梭于频域. 频域法再次进入. 由于中午的superbia, 导致机体状态过于高昂, 潜意识下等待到了反向冲激的到来, 我们所期待的终于来到了.
• 晚上. 按计划整理中... 与昨日第一次相比, 机体状态未见高昂. 晚饭为配合负向冲激, 半个暴食? 还行. 明日"圣餐饼"乌龙茶继续.
• Oh. 我真不该嘴馋晚上吃牛肉面的... 还加了个鸡蛋... 后面快吃完了还加了根烤肠... orz

公共课一

NONE

公共课二

• 单词一组

业务课一

• 高等数学-习题-多元函数积分学-第十章

  • 四零战术刀斯托克斯公式使用前, 请挥舞其将敌机体封闭. 曲线需要封闭!!! 未封闭请添上辅助线使其封闭, 再根据其连击技将待求曲线积分转换为曲面积分.

    • 注意两种形式时的积分元素

      \[\begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy \\ \partial\over \partial x & \partial\over \partial y & \partial\over \partial z \\ P & Q & R \end{vmatrix} \]
      \[\begin{vmatrix} cos\alpha & cos\beta & cos\gamma \\ \partial\over \partial x & \partial\over \partial y & \partial\over \partial z \\ P & Q & R \end{vmatrix} dS \]
      • 原因在积分微元的投影面积\(cos\alpha \sdot dS=dydz\)

    • 注意法向量的单位化!

    • 注意曲线的方向与曲面法向量的选取. 右手法则. 可是... 法向量取反了后, 居然算出值是一样的...

    • 注意若添加辅助线后其积分值为零, 求原曲线积分的值时, 会有一个负号. 注意灵活使其辅助线反向即可. 目前遇到的辅助线为直线, 反向挺简单.

  • 画图空间的图要灵性啊. 不一定要z轴朝上啊. 如果是绕y轴转形成的曲面那就把y轴朝上就行了啊. 只要符合右手法则就行. 比如y轴朝上, x轴就是右边, z轴就是前边. 右手从x轴到y轴方向握拳, 伸出大拇指, 此时大拇指方向就是z轴应该在的方向.

  • 如何根据曲线的交面方程写出其参数方程?

    • 一个例子

      \[L=\begin{cases} x^2+(y-2)^2=x^2 \\ z=3y+1\end{cases} \]

    • 先写出圆的参数方程.

      \[\begin{cases} x=2\sdot cos(t)\\ y=2+2\sdot sin(t)\end{cases} \]

    • 再将y代入z即可... 有点怀疑人生

  • Pod... 你该升级一下插件了...

    • 如何快速反应战场态势, 如何快速反应第二类形式下(全微分)对应的原函数

    • 一个例子

      \[\displaystyle \int_L yzdx+zxdy+xydz\\=\int_{0}^{2\pi}d\{x(t)\sdot y(t)\sdot z(t)\}\\ \]
      • 其实这是接着上面的参数方程

    • 关键是这一步

      \[\displaystyle \int_L yzdx+3zxdy-xydz\\= \int_L yzdx+zxdy+xydz+2zxdy-2xydz \]

    • Pod...

  • 来尝尝这瓶药水的味道. 其实这定理(性质?), 应该算是某一把武器吧... 不能说是药水... 药水的话应该是类似摆线图案之类的常见几何图形和常用积分.

    • \(\displaystyle I=\int_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz= u|_{B}^{A}\)
    • 适用的战场态势

      • \[du=Pdx+Qdy+Rdz \]

      • P, Q, R函数在区间$\Omega $内连续
      • \(\Gamma\)为区间\(\Omega\)内的一条光滑曲线
      • A和B分别为曲线积分的起点和终点
    • 嗯... 机械生命体之枪么... /苦笑

业务课二

• 经典控制理论-教材-频域法-再次进入

  • 一开始在另一本书上有个截止频率把我整蒙了, 上面不是0dB, 而是0dB以下3dB...

    • 后面仔细一看那是定义在闭环的...在胡的教材上, 这个频率被定义为带宽频率, \(\omega_b\)

  • 其实一直很奇怪为什么不直接对整个闭环系统做分析, 而对开环传递函数(前向通路传递函数)进行分析... 是有什么难处么?

    • 重新进入战场, 一边挥着白之契约击退敌方单位一边想着, 感觉稍微有点眉目.
    • 可能是因为开环传递函数可以化成一些简单典型环节的组合吧. 如果化成闭环传递函数的形式, 考虑反馈支路, 就失去了这一分解的直观感觉吧.
    • 仅仅研究开环传递函数肯定是不够的, 所以先人们通过数学工具建立了如何从开环频率特性到闭环频率特性的联系. 而纯数学算式解析代数分析毕竟是不直观的, 于是便将其与几何图形联系了起来. 奈奎斯特判据, 围线映射, 柯西定理. 数学还是基础.
    • 总之, 开环分析起来方便, 而且可以通过奈奎斯特判据将开环和闭环联系起来. 何乐不为. 虽然可能也有直接分析闭环的方法... 以后慢慢学吧.

  • 注意到对于鲁"邦"控制理论来说, 频率响应法是必不可少的!

    • 频率响应法的提出: 1930-1940.

  • 意识到频域响应法与根轨迹法是互为补充的两种方法.

  • 要意识到频域法的优点

    • 书上有句话说, 对常规控制理论来说(常规?), 频域法是最有效的方法. (非线性的推广?)
    • 虽然我们学习的时候是从系统的传递函数出发来画出其对应频率特性的图. 但更具有实际意义的是, 一般我们想利用一个系统, 但不知道其数学模型传递函数, 我们可以通过对其输入正弦信号, 改变频率, 得到对应的输出, 利用得到实验的数据来运用这些系统. 当然也可以得出系统传递函数.

  • 频域响应, 提供了系统瞬态响应的定性描述. 除二阶系统情况之外, 频率响应与瞬态响应之间的关系, 仍然是间接的.

  • 在推导系统频率响应时, 我们可以假设其初始条件为零.

    • 对于线性, 稳定, 定常系统, 其对正弦输入信号的稳态响应, 与初始条件无关. 故假设初始条件为零, 以便于分析.
    • 注意到定义传递函数的时候也是假设初始为零.

  • 推导频率响应时, Y(s)的情况我们讨论了互异实根和重根的情况, 若系统稳定, 两者的瞬态响应都得到了衰减.

    • 注意到重根对应的\(\displaystyle \lim_{t\to \infty} t^{h_j} \sdot e^{-s_jt}=0\) , 该讨论下, Y(s)有\(m_j\)重实根, \(h_j=0,1,2,\cdots,m_j-1\)
    • 总之, 不管是什么情况, 我们最后得到稳态响应均为: \(y_{ss}=ae^{-j\omega t}+\bar ae^{j\omega t}\)
    • 通过消去法可以得到系数a, 注意到\(\displaystyle Y(s)=G(s)X(s)=G(s){\omega X\over s^2+\omega^2}\)
      • 令\(s=j\omega\) , 便得到了频率特性与传递函数的联系.
      • 注意到任何线性系统的正弦传递函数(频率特性), 其都可以用\(j\omega\) 取代系统传递函数中的s后得到. 注意线性.
      • 最后鼓捣鼓捣写成复变量形式就ok
    • 注意什么是复变量形式
      • \(G(j\omega)=|G(j\omega)|e^{j\phi}\)
      • 即幅值和相角的形式. 有序实数对. 极坐标.
      • 注意\(G(j\omega), G(-j\omega)\)的区别, 但极坐标图的话应该可以很容易看出来, 幅值相同, 角度相反. 即一个逆时针, 一个时顺针.

  • 什么是正弦传递函数? 其实就是频率特性(函数)

    • 注意到表述的不同蕴含的作者想传递给读者的良质. 侧重点不同. 频域法里的正弦传递函数, 离散系统中的脉冲传递函数(z传递函数).
    • 而且一开始学的系统传递函数, 应该被称为脉冲响应传递函数. 因为一个系统(线性?因果?定常?稳定?)在单位脉冲信号的输入下, 其响应反应了系统的所有特征.
    • 对应正弦传递函数也是如此. 不过就实际应用起来而言, 我们着重开始研究了系统的阶跃响应. 因为阶跃响应相当于条件最严苛(开始时导数为无穷大), 也较可以反映人类生活环境下该物种设计出来帮助他们的工作的工具的工作环境.

  • 好了, \(\displaystyle G(j\omega)={Y(j\omega)\over X(j\omega)}\)

    • 写成这样的形式来解析地分析, 显然是不太直观的, 也不太友好亲切. 但好在其正弦传递函数它是一个复变量, 可以把它分解为两个部分. 即幅值和相位.
    • \(\displaystyle |G(j\omega)|=|{Y(j\omega)\over X(j\omega)}|\) , 输出正弦曲线和输入正弦曲线的幅值之比, 即为系统正弦传递函数的幅值.
    • \(\displaystyle \angle {G(j\omega)}=\angle {Y(j\omega)\over X(j\omega)}\) , 输出正弦曲线相对于输入正弦曲线的相移. 记为\(\phi\), 其大于零称为相位超前, 小于零为相位滞后.

  • 来了, 相位滞后和超前它终于出现了. 之前的正弦传递函数对应一个系统, 或者说系统中的环节. 而正弦传递函数又是一个复数量, 它会引起输入正弦信号的相移和幅值放缩.

    • 着重考察相位. 一个正弦传递函数, 复变量形式, 相角大于零, 称为相角超前. 而该正弦传递函数对应的环节, 称为相位超前环节(网络); 反之相角小于零, 则为滞后, 对应相位滞后网络.
    • 其实头疼的一点是大于零小于零对应的超前滞后和函数图像在时间轴的左移还是右移.

  • 插播一条根轨迹战场上的传来的YoRHa部队的信息, 有关开环传递函数中增加极点其对根轨迹的影响.

    • 其会使系统闭环根轨迹向右方移动, 从而降低系统的相对稳定性.
    • 应当记住的是, 增加积分控制, 相当于增加位于与原点的极点, 因此降低了系统的稳定性.
    • 注意零点反之, 向左移动, 增加稳定性.

  • 继续看超前和滞后网络

    • 什么是超前网络? 如果在网络的输入端施加一个正弦信号, 网络的稳态输出信号的相位产生超前, 则称该网络为超前网络. 滞后同理.
    \[\displaystyle y_{ss}={XT_2 \sqrt{1+T_1^2\omega^2}\over T_1 \sqrt{1+T_2^2\omega^2}}\sdot sin(\omega t+arctan(T_1\omega)-arctan(T_2\omega)) \]
    • 其中\(\phi = arctan(T_1\omega)-arctan(T_2\omega)\)
      • 其大于零时, 为超前网络, 输出向左平移!!!.
      • 小于零为滞后. 输出向右平移! 右方为未发生的么. 但你移到未发生的地界了不是"超前"了么哈哈哈哈 感觉找到小时候纠结的点了. 到底前是什么意思.
    • 对应的环节的传递函数为\(\displaystyle G(s)={s+{1\over T_1}\over s+{1\over T_2}}\)
      • 故\(T_1>T_2\)时, 为超前网络
      • 故\(T_1<T_2\)时, 为滞后网络

  • 好了, 总结一下, 我们是如何来描述系统的频率响应特性的?

    • 系统对应的正弦传递函数, 其作为频率\(\omega\) 的复变函数, 可以用频率作为参量, 用其幅值, 相角来描述.
    • 解析的描述我们已经看过了, 但这终归不太友好不太直观. 于是先人们用了几种图示来更为简洁, 直观, 快速地将系统频率特性传递给种群中的其他个体. 或者群体. 其实还是为了实际应用的方便.

Question-Flash-Point. Q-is-A

• 请翻照李范习题Cal-X-四-1, 你的对称性方法最后为什么行不通? 如果按照曲面投影拿白之契约硬上能不能砍翻?

  • 今日机体已丧失自主能力, 望明日机体能继续.
  • 挥舞着四式战术刀斯托克斯公式算到最后, 结果曲面积分不知道怎么算了. 被积函数很简单, 就是个坐标轴对称性也不顶用. 如果按对称性就是0了...
  • \(\displaystyle \iint_{\Sigma} y\sdot dS, \iint_{\Sigma} z\sdot dS\) , 当曲面S关于yoz对称时, 且其被积函数均为x的偶函数... 那积分值为0吗? 我是不是哪里搞错了...

• 连续函数在其定义域内必有原函数!

  • 总感觉这句话怪怪的... "定义域"内有必要强调么...

• 一阶微分方程的求解居然麻木到如此地步...

  • \(\phi'(x)+{1\over x}\phi(x)=sin(x)\)
  • 两边同时乘以一个 \(e^{\int {1\over x}dx}\) , 这想到了, 但后续居然畏畏缩缩不敢把\(e^{ln(x)}\) 化简成x...
  • 还在犹豫琢磨... 小心翼翼勤谨慎敏...orz

• 话说, 写成第二类曲线积分时, 怎么称呼... 还是被积函数?

  • "待考察积分区域x>0, 该区域对于该"被积函数"?为单连通区域? 详见0817-S-Cal-2背面
  • 不知道该怎么描述了

• 为什么法向量选取反了, 最后stokes得出的结果, 相同!

  • stokes应用的物理场景是什么?
  • 法向量到底为什么要规定一个真向?
  • 就和电流的参考方向一样么?

• 相角穿越频率和幅值穿越频率其一般先后顺序有什么关系吗?

  • 或者说我们所期望的系统的两个频率应该怎么安排比较合适或者通用?

• 注意到对于鲁邦控制理论来说, 频率响应法是必不可少的!

  • 为什么这么说?

• 书上有句话说, 对常规控制理论来说, 频域法是最有效的方法.

  • 什么是常规控制理论?
  • 最有效源于非线性的推广?

• 这段表述怎么理解?

  • 频域响应, 提供了系统瞬态响应的定性描述. 除二阶系统情况之外, 频率响应与瞬态响应之间的关系, 仍然是间接的.

• \(\omega-rad/s\\ f-circles/s \\ \omega=2\pi f\)

  • 其实一直没去想过, 到底多少弧度每秒算快? 或者频率多少圈每秒算快?
  • 对于人类而言, 人的大脑一秒钟"转多少圈"?
  • 人大脑的思考周期?

• 对于线性, 稳定, 定常系统, 其对正弦输入信号的稳态响应, 与初始条件无关. 为什么?

• 话说, 我们讨论的Y(s), 除了互异极点, 重极点之外, 还有什么情况么... 总感觉还有一种情况, 但就是想不起来.

• 还有就是, 什么是复变量? \(G(j\omega)\) 是一个复变量, 因为它可以表示成幅值和相角的形式, 参量\(\omega\)是个实数. 那\(G(s)\) 是复变量么... 但是其参量s是一个复数... 这该怎么去... 写成幅值和相角形式?

• 说到超前和滞后, 一直让我头疼的来了, 这不是周期信号么, 超前和滞后没有物极必反的感觉么... 还是说校正网络达不到那么高的滞后使其变为超前.? 滞后超过一个周期? 那和时延有什么区别?

  • 话说时延环节和滞后网络有什么区别... 之前好像看到, 得看一看. 捋一捋, pod, 取我的白之契约来. 算了, 引擎剑吧...

• 不是正弦信号, 其他的周期信号有相移么?

  • bad question, 基本所有现实中的信号都可以分解为正弦信号(复指数信号), 或者说到离散的领域, 用脉冲串啊! 信号与系统!

• 开环传递函数零极点的增加对系统闭环根轨迹的影响? 好好搞清楚. 开环, 闭环. 多了这么一根反馈回来的线, 怎么来的这么多让人癫狂痴迷的挥着白之契约黑之誓约的邓布利多.