ieee754浮点数整理

对于一个浮点数的值value： value = sign * exponent * fraction

也就是浮点数的实际值，等于符号位（sign bit）乘以指数偏移值(exponent bias)再乘以分数值(fraction)。
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浮点数的三个域：

float

格式

单精度浮点数各种极值情况：

类别	正负号	实际指数	有偏移指数	指数域	尾数域	数值
零	0	-127	0	0000 0000	000 0000 0000 0000 0000 0000	0.0
负零	1	-127	0	0000 0000	000 0000 0000 0000 0000 0000	−0.0
1	0	0	127	0111 1111	000 0000 0000 0000 0000 0000	1.0
-1	1	0	127	0111 1111	000 0000 0000 0000 0000 0000	−1.0
最小的非规约数	*	-126	0	0000 0000	000 0000 0000 0000 0000 0001	±2−23 × 2−126 = ±2−149 ≈ ±1.4×10-45
中间大小的非规约数	*	-126	0	0000 0000	100 0000 0000 0000 0000 0000	±2−1 × 2−126 = ±2−127 ≈ ±5.88×10-39
最大的非规约数	*	-126	0	0000 0000	111 1111 1111 1111 1111 1111	±(1−2−23) × 2−126 ≈ ±1.18×10-38
最小的规约数	*	-126	1	0000 0001	000 0000 0000 0000 0000 0000	±2−126 ≈ ±1.18×10^-38 ^
最大的规约数	*	127	254	1111 1110	111 1111 1111 1111 1111 1111	±(2−2−23) × 2127 ≈ ±3.4×1038
正无穷	0	128	255	1111 1111	000 0000 0000 0000 0000 0000	+∞
负无穷	1	128	255	1111 1111	000 0000 0000 0000 0000 0000	−∞
NaN	*	128	255	1111 1111	non zero	NaN

double

格式

examples

二进制机器值	十六进制机器值	2	真值
0 01111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000	3FF0 0000 0000 0000	+20 × 1	1
0 01111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000001	3FF0 0000 0000 0001	+20 × (1 + 2−52)	≈ 1.0000000000000002, the smallest number > 1

0 01111111111 00000000000000000000000000000000000000000000000000102 ≙ 3FF0 0000 0000 000216 ≙ +20 × (1 + 2−51) ≈ 1.0000000000000004
0 10000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 4000 0000 0000 000016 ≙ +21 × 1 = 2
1 10000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ C000 0000 0000 000016 ≙ −21 × 1 = −2
0 10000000000 10000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 4008 0000 0000 000016 ≙ +21 × 1.12 = 112 = 3
0 10000000001 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 4010 0000 0000 000016 ≙ +22 × 1 = 1002 = 4
0 10000000001 01000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 4014 0000 0000 000016 ≙ +22 × 1.012 = 1012 = 5
0 10000000001 10000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 4018 0000 0000 000016 ≙ +22 × 1.12 = 1102 = 6
0 10000000011 01110000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 4037 0000 0000 000016 ≙ +24 × 1.01112 = 101112 = 23
0 01111111000 10000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 3F88 0000 0000 000016 ≙ +2−7 × 1.12 = 0.000000112 = 0.01171875 (3/256)
0 00000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000012 ≙ 0000 0000 0000 000116 ≙ +2−1022 × 2−52 = 2−1074
≈ 4.9406564584124654 × 10−324 (Min. subnormal positive double)
0 00000000000 11111111111111111111111111111111111111111111111111112 ≙ 000F FFFF FFFF FFFF16 ≙ +2−1022 × (1 − 2−52)
≈ 2.2250738585072009 × 10−308 (Max. subnormal double)
0 00000000001 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 0010 0000 0000 000016 ≙ +2−1022 × 1
≈ 2.2250738585072014 × 10−308 (Min. normal positive double)
0 11111111110 11111111111111111111111111111111111111111111111111112 ≙ 7FEF FFFF FFFF FFFF16 ≙ +21023 × (1 + (1 − 2−52))
≈ 1.7976931348623157 × 10308 (Max. Double)
0 00000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 0000 0000 0000 000016 ≙ +0
1 00000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 8000 0000 0000 000016 ≙ −0
0 11111111111 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ 7FF0 0000 0000 000016 ≙ +∞ (positive infinity)
1 11111111111 00000000000000000000000000000000000000000000000000002 ≙ FFF0 0000 0000 000016 ≙ −∞ (negative infinity)
0 11111111111 00000000000000000000000000000000000000000000000000012 ≙ 7FF0 0000 0000 000116 ≙ NaN (sNaN on most processors, such as x86 and ARM)
0 11111111111 10000000000000000000000000000000000000000000000000012 ≙ 7FF8 0000 0000 000116 ≙ NaN (qNaN on most processors, such as x86 and ARM)
0 11111111111 11111111111111111111111111111111111111111111111111112 ≙ 7FFF FFFF FFFF FFFF16 ≙ NaN (an alternative encoding, given that NaN only requires a non-zero significand)
0 01111111101 01010101010101010101010101010101010101010101010101012
= 3fd5 5555 5555 555516 ≙ +2−2 × (1 + 2−2 + 2−4 + … + 2−52)
≈ 1/3

规约形式

如果浮点数中指数部分的编码值在 0 < exponent ⩽ 2^e − 2 之间，且在科学表示法的表示方式下，分数 (fraction) 部分最高有效位（即整数字）是1，那么这个浮点数将被称为规约形式的浮点数。“规约”是指用唯一确定的浮点形式去表示一个值。

由于这种表示下的尾数有一位隐含的二进制有效数字，为了与二进制科学计数法的尾数（mantissa）相区别，IEEE754称之为有效数（significant）。

举例来说，双精度 (64-bit) 的规约形式浮点数在指数偏移值的值域为 00000000001 (11-bit) 到 11111111110 ，在分数部分则是 000…000 到 111…111 (52-bit)

非规约形式

如果浮点数的指数部分的编码值是0，分数部分非零，那么这个浮点数将被称为非规约形式的浮点数。一般是某个数字相当接近零时才会使用非规约型式来表示。 IEEE 754标准规定：非规约形式的浮点数的指数偏移值比规约形式的浮点数的指数偏移值小1。例如，最小的规约形式的单精度浮点数的指数部分编码值为1，指数的实际值为-126；而非规约的单精度浮点数的指数域编码值为0，对应的指数实际值也是-126而不是-127。实际上非规约形式的浮点数仍然是有效可以使用的，只是它们的绝对值已经小于所有的规约浮点数的绝对值；即所有的非规约浮点数比规约浮点数更接近0。规约浮点数的尾数大于等于1且小于2，而非规约浮点数的尾数小于1且大于0。

除了规约浮点数，IEEE754-1985标准采用非规约浮点数，用来解决填补绝对值意义下最小规格数与零的距离。（举例说，正数下，最大的非规格数等于最小的规格数。而一个浮点数编码中，如果exponent=0，且尾数部分不为零，那么就按照非规约浮点数来解析）非规约浮点数源于70年代末IEEE浮点数标准化专业技术委员会酝酿浮点数二进制标准时，Intel公司对渐进式下溢出（gradual underflow）的力荐。当时十分流行的DEC VAX机的浮点数表示采用了突然式下溢出（abrupt underflow）。如果没有渐进式下溢出，那么0与绝对值最小的浮点数之间的距离（gap）将大于相邻的小浮点数之间的距离。例如单精度浮点数的绝对值最小的规约浮点数是 1.0 × 2 ^− 126^ ,它与绝对值次小的规约浮点数之间的距离为 2^− 126^× 2⁻²³ = 2^− 149^ 。如果不采用渐进式下溢出，那么绝对值最小的规约浮点数与0的距离是相邻的小浮点数之间距离的 2²³倍！可以说是非常突然的下溢出到0。这种情况的一种糟糕后果是：两个不等的小浮点数X与Y相减，结果将是0.训练有素的数值分析人员可能会适应这种限制情况，但对于普通的程序员就很容易陷入错误了。采用了渐进式下溢出后将不会出现这种情况。例如对于单精度浮点数，指数部分实际最小值是（-126），对应的尾数部分从 1.1111 … 11一直到 0.0000 … 10 相邻两小浮点数之间的距离（gap）都是 2^− 126^ × 2^− 23^ = 2^− 149^；而与0最近的浮点数（即最小的非规约数）也是 2^− 126^ × 2^− 23^= 2^− 149^。

特殊值

形式	指数	小数部分	形式
零	0	0	零
非规约形式	0	大于0小于1	非规约形式
规约形式	1 {\displaystyle 1} 1到 2 e − 2 {\displaystyle 2^{e}-2} 2^{e}-2	大于等于1小于2	规约形式
无穷	2 e − 1 {\displaystyle 2^{e}-1} 2^{e}-1	0	无穷
NaN	2 e − 1 {\displaystyle 2^{e}-1} 2^{e}-1	非0	NaN