线性素数筛+欧拉线性筛(证明)

线性素数筛+欧拉线性筛(证明)

线性素数筛

int prime[MAXN], tag[MAXN];
void Get_Prime()
{
    Mem0(tag);
    int cnt = 0;
    for(int i = 2;i < MAXN;++i)
    {
        if(!tag[i])
            prime[cnt++] = i;
        for(int j = 0;j < cnt && i * prime[j] <= MAXN;++j)
        {
            tag[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0)
                break;
        }
    }
}

解释tag[i * prime[j]] = 1；

i是从小到大遍历，即所有的质数乘以大于或等于该数的数，所以所有的合数都会被筛掉且只会被筛掉一次

解释if(i%prime[j]==0) break;

相对于埃式筛，线性筛的实现是让每个数都被它的最小质因数筛去，且最小因数是质数，当跑到数字i时，我们筛掉的合数为i*prime[j] = k，这里把k分解成若干个质数的乘积，从小到大遍历所有的质数，知道k%prime[j]==0恒成立，由于prime是从小到大遍历的，所以prime[j]前面的质数一定与k互质，所以k一定被它的最小质因数筛去

欧拉线性筛

int phi[N], prime[N], vis[N], cnt;
void Euler()
{
    F(i, 2, N)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for(int j = 0;j < cnt && i * prime[j] < N;++j)
        {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0)
            {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];break;
            }
            phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
    phi[1] = 1;//定义
}

有以下公式

若x为质数，则phi[x] = x - 1

若x%prime[j] == 0,phi[x * prime[j]] = phi[x] * prime[j]

若x%prime[j] != 0,phi[x * prime[j]] = phi[x] * (prime[j] - 1)

证明二、三：

已知若i%prime[j] == 0,则prime[j]为i的质因数。下面欧拉函数的计算公式，其中p_i为x的质因数

\[\varphi(x)=x \prod_{i=1}^{n} (1- \frac{1}{p_i}) \]

设x的所有质因数为

\[{p_1,p_2,...,p_k} \]

证明2：若x%prime[j] == 0,有

\[\varphi(x* prime[j])= \varphi(x) *prime[j] \]

当x%prime[j]==0，且prime[j]为质数，所以prime[j]为x的某个质因数p_j,所以由欧拉函数的计算公式得

\[\varphi(x*prime[j])=prime[j]*x \prod_{i=1}^{k} (1- \frac{1}{p_i})=prime[j]* \varphi(x) \]

证明3：若x%prime[j] != 0,有

\[\varphi(x* prime[j])= \varphi(x) *(prime[j]-1) \]

当x%prime[j]!=0时，prime[j]为i*prime[j]的质因数p_{k+1}，下面为i*prime[j]的质因数

\[p_1,p_2,...,p_k,p_{k+1}(p_{k+1}=prime[j]) \]

由欧拉函数的计算公式得

\[\varphi(x*prime[j])=prime[j]*x \prod_{i=1}^{k} (1- \frac{1}{p_i})*(1- \frac{1}{p_{k+1}})=prime[j]* \varphi(x)*(1-\frac{1}{p_{k+1}}) =\varphi(x)*(prime[j]-1) \]