弗洛伊德（Floyd）算法python实现

弗洛伊德（Floyd）算法

1.算法原理

算法使用距离矩阵和路由矩阵。

距离矩阵是一个\(n \times n\)矩阵，以图\(G\)的\(n\)个节点为行和列。记为\(W=[w_{ij}]_{n\times n}\)，\(w_{ij}\)表示图\(G\)中\(v_i\)和\(v_j\)两点之间的路径长度。接点则记录最后一个）。

路由矩阵是一个\(n\times n\)矩阵，以图\(G\)的\(n\)个节点为行和列。记为\(R =[r_{ij}]_{n\times n}\) ，其中\(r_{ij}\)表示\(v_i\)至\(v_j\)经过的转接点（中间节点）。

算法的思路是首先写出初始的\(W\)阵和\(R\)阵，接着按顺序依次将节点集中的各个节点作为中间节点，计算此点距其他各点的径长，每次计算后都以求得的与上次相比较小的径长去更新前一次较大径长，若后求得的径长比前次径长大或相等则不变。以此不断更新和，直至\(W\)中的数值收敛。

2.实现流程

  1. 写出图\(G\)初始距离矩阵\(W^0=[w^0_{ij}]_{n\times n}\)，其中

\[w^0_{ij}= \begin{cases} d_{ij} & {当v_i与v_j间有边,d_{ij}为边(i,j)的长} \\ \infin & {当v_i与v_j间没有边}\\ 0 & {i=j}\\ \end{cases} \]

  1. 写出图\(G\)初始路由矩阵\(R^0=[r^0_{ij}]_{n\times n}\)，其中

\[r^0_{ij}= \begin{cases} j & {当w^0_{ij}<\infin} \\ 0 & {当w^0_{ij}=\infin或i=j时}\\ \end{cases} \]

  1. 循环变量\(k\)初始值为1
  2. 以\(k\)为中间节点时，求第\(k\)次修改距离矩阵\(W^k=[w^k_{ij}]_{n\times n}\)，其中

\[w^k_{ij}=\min\{w^{k-1}_{ij},w^{k-1}_{ik}+w^{k-1}_{kj}\} \]

  1. 以\(k\)为中间节点时，求第\(k\)次修改路由矩阵\(R^k=[r^k_{ij}]_{n\times n}\)，其中

\[r^k_{ij}= \begin{cases} k & {w^{k-1}_{ij}>w^{k-1}_{ik}+w^{k-1}_{kj},即w_{ij}改动时} \\ r^{k-1}_{ij} & {w^{k-1}_{ij}<w^{k-1}_{ik}+w^{k-1}_{kj},即w_{ij}没有改动时}\\ \end{cases} \]

  1. 循环直至\(k=n\)结束

3.举个例子

如图：

  1. 首先根据图得出初始化距离矩阵：

\[W^0= \begin{pmatrix} 0 & \infin & \infin & 1.2 & 9.2 & \infin & 0.5 \\ \infin & 0 & \infin & 5 & \infin & 3.1 & 2 \\ \infin & \infin & 0 & \infin & \infin & 4 & 1.5 \\ 1.2 & 5 & \infin & 0 & 6.7 & \infin & \infin \\ 9.2 & \infin & \infin & 6.7 & 0 & 15.6 & \infin \\ \infin & 3.1 & 4 & \infin & 15.6 & 0 & \infin \\ 0.5 & 2 & 1.5 & \infin & \infin & \infin & 0 \end{pmatrix} \]

并由此得出初始路由矩阵：

\[R^0= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 4 & 5 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 7 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \]

路由矩阵表示，初始时，\(v_1\)可以直接到达\(v_4\)、\(v_5\)、\(v_7\)；\(v_2\)可以直接到达\(v_4\)，\(v_6\)，\(v_7\)；\(v_3\)可以直接到达\(v_6\)，\(v_7\)；…………

  1. 然后，把\(v_1\)作为转节点，因为\(v_1\)能到达\(v_4\)、\(v_5\)、\(v_7\)，那么\(v_2\)到\(v_7\)的这6个点中，能够到达\(v_1\)的点就能够通过\(v_1\)再到达\(v_4\)、\(v_5\)、\(v_7\)，由此我们可以对距离矩阵\(W^0\)进行更新：
    • \(v_4\)到\(v_1\)的距离是1.2，\(v_1\)再到\(v_5\)的距离是9.2，所以\(v_4\)经过\(v_1\)再到\(v_5\)的距离是10.4，但\(v_4\)直接到\(v_5\)的距离是6.7，比10.4小，所以不用改；而\(v_4\)经过\(v_1\)再到\(v_7\)的距离是1.2+0.5=1.7，比\(\infin\)小，需要进行修改\(w^1_{47}=1.7\)
    • \(v_5\)到\(v_1\)的距离是9.2，\(v_5\)经过\(v_1\)再到\(v_7\)的距离是9.2+0.5=9.7，比\(\infin\)小，需要进行修改\(w^1_{57}=9.7\)
    • 同理\(w^1_{74}=1.7\)，\(w^1_{75}=9.7\)

于是得到：

\[W^1= \begin{pmatrix} 0 & \infin & \infin & 1.2 & 9.2 & \infin & 0.5 \\ \infin & 0 & \infin & 5 & \infin & 3.1 & 2 \\ \infin & \infin & 0 & \infin & \infin & 4 & 1.5 \\ 1.2 & 5 & \infin & 0 & 6.7 & \infin & *1.7 \\ 9.2 & \infin & \infin & 6.7 & 0 & 15.6 & *9.7 \\ \infin & 3.1 & 4 & \infin & 15.6 & 0 & \infin \\ 0.5 & 2 & 1.5 & *1.7 & *9.7 & \infin & 0 \end{pmatrix} (*标注修改的值) \]

对于路由矩阵，\(v_4\)到\(v_7\)经过了转节点\(v_1\)，故\(r^1_{47}=1\)；\(v_5\)到\(v_7\)经过了转节点\(v_1\)，故\(r^1_{57}=1\)；同理\(r^1_{74}=1\)，\(r^1_{75}=1\)

\[R^1= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 4 & 5 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 7 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 5 & 0 & *1 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 6 & *1 \\ 0 & 2 & 3 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & *1 & *1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} (*标注修改的值) \]

  1. 把\(v_2\)作为转节点，重复上面的步骤，可以得到

距离矩阵：

\[W^2= \begin{pmatrix} 0 & \infin & \infin & 1.2 & 9.2 & \infin & 0.5 \\ \infin & 0 & \infin & 5 & \infin & 3.1 & 2 \\ \infin & \infin & 0 & \infin & \infin & 4 & 1.5 \\ 1.2 & 5 & \infin & 0 & 6.7 & *8.1 & 1.7 \\ 9.2 & \infin & \infin & 6.7 & 0 & 15.6 & 9.7 \\ \infin & 3.1 & 4 & *8.1 & 15.6 & 0 & *5.1 \\ 0.5 & 2 & 1.5 & 1.7 & 9.7 & *5.1 & 0 \end{pmatrix} (*标注修改的值) \]

路由矩阵：

\[R^2= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 4 & 5 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 7 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 5 & *2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 6 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & *2 & 5 & 0 & *2 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 1 & *2 & 0 \\ \end{pmatrix} (*标注修改的值) \]

  1. 把\(v_3\)作为转节点，发现并没有要修改的值

距离矩阵：

\[W^3= \begin{pmatrix} 0 & \infin & \infin & 1.2 & 9.2 & \infin & 0.5 \\ \infin & 0 & \infin & 5 & \infin & 3.1 & 2 \\ \infin & \infin & 0 & \infin & \infin & 4 & 1.5 \\ 1.2 & 5 & \infin & 0 & 6.7 & 8.1 & 1.7 \\ 9.2 & \infin & \infin & 6.7 & 0 & 15.6 & 9.7 \\ \infin & 3.1 & 4 & 8.1 & 15.6 & 0 & 5.1 \\ 0.5 & 2 & 1.5 & 1.7 & 9.7 & 5.1 & 0 \end{pmatrix} \]

路由矩阵：

\[R^3= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 4 & 5 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 0 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 7 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 5 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & 0 & 6 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 2 & 5 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix} \]

  1. \(v_4\)作为转接点

距离矩阵：

\[W^4= \begin{pmatrix} 0 & *6.2 & \infin & 1.2 & *7.9 & *9.3 & 0.5 \\ *6.2 & 0 & \infin & 5 & *11.7 & 3.1 & 2 \\ \infin & \infin & 0 & \infin & \infin & 4 & 1.5 \\ 1.2 & 5 & \infin & 0 & 6.7 & 8.1 & 1.7 \\ *7.9 & *11.7 & \infin & 6.7 & 0 & *14.8 & *8.4 \\ *9.3 & 3.1 & 4 & 8.1 & *14.8 & 0 & 5.1 \\ 0.5 & 2 & 1.5 & 1.7 & *8.4 & 5.1 & 0 \end{pmatrix} (*标注修改的值) \]

路由矩阵：

\[R^4= \begin{pmatrix} 0 & 4 & 0 & 4 & 4 & 4 & 7 \\ 4 & 0 & 0 & 4 & 4 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 7 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 5 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 0 & 4 & 0 & 4 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 2 & 4 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix} \]

  1. \(v_5\)作为转接点，无需修改

距离矩阵：

\[W^5= \begin{pmatrix} 0 & 6.2 & \infin & 1.2 & 7.9 & 9.3 & 0.5 \\ 6.2 & 0 & \infin & 5 & 11.7 & 3.1 & 2 \\ \infin & \infin & 0 & \infin & \infin & 4 & 1.5 \\ 1.2 & 5 & \infin & 0 & 6.7 & 8.1 & 1.7 \\ 7.9 & 11.7 & \infin & 6.7 & 0 & 14.8 & 8.4 \\ 9.3 & 3.1 & 4 & 8.1 & 14.8 & 0 & 5.1 \\ 0.5 & 2 & 1.5 & 1.7 & 8.4 & 5.1 & 0 \end{pmatrix} \]

路由矩阵：

\[R^5= \begin{pmatrix} 0 & 4 & 0 & 4 & 4 & 4 & 7 \\ 4 & 0 & 0 & 4 & 4 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & 7 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 5 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 0 & 4 & 0 & 4 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 2 & 4 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix} \]

  1. \(v_6\)作为转接点

距离矩阵：

\[W^6= \begin{pmatrix} 0 & 6.2 & *13.3 & 1.2 & 7.9 & 9.3 & 0.5 \\ 6.2 & 0 & *7.1 & 5 & 11.7 & 3.1 & 2 \\ *13.3 & *7.1 & 0 & *12.1 & *18.8 & 4 & 1.5 \\ 1.2 & 5 & *12.1 & 0 & 6.7 & 8.1 & 1.7 \\ 7.9 & 11.7 & *18.8 & 6.7 & 0 & 14.8 & 8.4 \\ 9.3 & 3.1 & 4 & 8.1 & 14.8 & 0 & 5.1 \\ 0.5 & 2 & 1.5 & 1.7 & 8.4 & 5.1 & 0 \end{pmatrix} \]

路由矩阵：

\[R^6= \begin{pmatrix} 0 & 4 & 6 & 4 & 4 & 4 & 7 \\ 4 & 0 & 6 & 4 & 4 & 6 & 7 \\ 6 & 6 & 0 & 6 & 6 & 6 & 7 \\ 1 & 2 & 6 & 0 & 5 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 6 & 4 & 0 & 4 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 2 & 4 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix} \]

  1. \(v_7\)作为转接点

距离矩阵：

\[W^7= \begin{pmatrix} 0 & *2.5 & *2 & 1.2 & 7.9 & *5.6& 0.5 \\ *2.5 & 0 & *3.5 & *3.7 & *10.4 & 3.1 & 2 \\ *2 & *3.5 & 0 & *3.2 & *9.9 & 4 & 1.5 \\ 1.2 & *3.7 & *3.2 & 0 & 6.7 & *6.8 & 1.7 \\ 7.9 & *10.4 & *9.9 & 6.7 & 0 & *13.5 & 8.4 \\ *5.6 & 3.1 & 4 & *6.8 & *13.5 & 0 & 5.1 \\ 0.5 & 2 & 1.5 & 1.7 & 8.4 & 5.1 & 0 \end{pmatrix} \]

路由矩阵：

\[R^7= \begin{pmatrix} 0 & 7 & 7 & 4 & 4 & 7 & 7 \\ 7 & 0 & 7 & 7 & 7 & 6 & 7 \\ 7 & 7 & 0 & 7 & 7 & 6 & 7 \\ 1 & 7 & 7 & 0 & 5 & 7 & 7 \\ 4 & 7 & 7 & 4 & 0 & 7 & 4 \\ 7 & 2 & 3 & 7 & 7 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix} \]

从\(W^7\)和\(R^7\)可以找到任何节点间最短径的径长和路由。

4.实现代码

matrix = [[0, -1, -1, 1.2, 9.1, -1, 0.5],
          [-1, 0, -1, 5, -1, 3.1, 2],
          [-1, -1, 0, -1, -1, 4, 1.5],
          [1.2, 5, -1, 0, 6.7, -1, -1],
          [9.2, -1, -1, 6.7, 0, 15.6, -1],
          [-1, 3.1, 4, -1, 15.6, 0, -1],
          [0.5, 2, 1.5, -1, -1, -1, 0]]


def floyd(W):
    # 首先获取节点数
    node_number = len(W)

    # 初始化路由矩阵
    R = [[0 for i in range(node_number)] for j in range(node_number)]
    for i in range(node_number):
        for j in range(node_number):
            if W[i][j] > 0:
                R[i][j] = j+1
            else:
                R[i][j] = 0
    # 查看初始化的路由矩阵
    for row in R:
        print(row)

    # 循环求W_n和R_n
    for k in range(node_number):
        for i in range(node_number):
            for j in range(node_number):
                if W[i][k] > 0 and W[k][j] > 0 and (W[i][k] + W[k][j] < W[i][j] or W[i][j] == -1):
                    W[i][j] = W[i][k] + W[k][j]
                    R[i][j] = k+1
        print("第%d次循环:" % (k+1))
        print("距离矩阵:")
        for row in W:
            print(row)
        print("路由矩阵:")
        for row in R:
            print(row)


floyd(matrix)

5.输出结果

"""
[0, 0, 0, 4, 5, 0, 7]
[0, 0, 0, 4, 0, 6, 7]
[0, 0, 0, 0, 0, 6, 7]
[1, 2, 0, 0, 5, 0, 0]
[1, 0, 0, 4, 0, 6, 0]
[0, 2, 3, 0, 5, 0, 0]
[1, 2, 3, 0, 0, 0, 0]
第1次循环:
距离矩阵:
[0, -1, -1, 1.2, 9.1, -1, 0.5]
[-1, 0, -1, 5, -1, 3.1, 2]
[-1, -1, 0, -1, -1, 4, 1.5]
[1.2, 5, -1, 0, 6.7, -1, 1.7]
[9.2, -1, -1, 6.7, 0, 15.6, 9.7]
[-1, 3.1, 4, -1, 15.6, 0, -1]
[0.5, 2, 1.5, 1.7, 9.6, -1, 0]
路由矩阵:
[0, 0, 0, 4, 5, 0, 7]
[0, 0, 0, 4, 0, 6, 7]
[0, 0, 0, 0, 0, 6, 7]
[1, 2, 0, 0, 5, 0, 1]
[1, 0, 0, 4, 0, 6, 1]
[0, 2, 3, 0, 5, 0, 0]
[1, 2, 3, 1, 1, 0, 0]
第2次循环:
距离矩阵:
[0, -1, -1, 1.2, 9.1, -1, 0.5]
[-1, 0, -1, 5, -1, 3.1, 2]
[-1, -1, 0, -1, -1, 4, 1.5]
[1.2, 5, -1, 0, 6.7, 8.1, 1.7]
[9.2, -1, -1, 6.7, 0, 15.6, 9.7]
[-1, 3.1, 4, 8.1, 15.6, 0, 5.1]
[0.5, 2, 1.5, 1.7, 9.6, 5.1, 0]
路由矩阵:
[0, 0, 0, 4, 5, 0, 7]
[0, 0, 0, 4, 0, 6, 7]
[0, 0, 0, 0, 0, 6, 7]
[1, 2, 0, 0, 5, 2, 1]
[1, 0, 0, 4, 0, 6, 1]
[0, 2, 3, 2, 5, 0, 2]
[1, 2, 3, 1, 1, 2, 0]
第3次循环:
距离矩阵:
[0, -1, -1, 1.2, 9.1, -1, 0.5]
[-1, 0, -1, 5, -1, 3.1, 2]
[-1, -1, 0, -1, -1, 4, 1.5]
[1.2, 5, -1, 0, 6.7, 8.1, 1.7]
[9.2, -1, -1, 6.7, 0, 15.6, 9.7]
[-1, 3.1, 4, 8.1, 15.6, 0, 5.1]
[0.5, 2, 1.5, 1.7, 9.6, 5.1, 0]
路由矩阵:
[0, 0, 0, 4, 5, 0, 7]
[0, 0, 0, 4, 0, 6, 7]
[0, 0, 0, 0, 0, 6, 7]
[1, 2, 0, 0, 5, 2, 1]
[1, 0, 0, 4, 0, 6, 1]
[0, 2, 3, 2, 5, 0, 2]
[1, 2, 3, 1, 1, 2, 0]
第4次循环:
距离矩阵:
[0, 6.2, -1, 1.2, 7.9, 9.299999999999999, 0.5]
[6.2, 0, -1, 5, 11.7, 3.1, 2]
[-1, -1, 0, -1, -1, 4, 1.5]
[1.2, 5, -1, 0, 6.7, 8.1, 1.7]
[7.9, 11.7, -1, 6.7, 0, 14.8, 8.4]
[9.299999999999999, 3.1, 4, 8.1, 14.8, 0, 5.1]
[0.5, 2, 1.5, 1.7, 8.4, 5.1, 0]
路由矩阵:
[0, 4, 0, 4, 4, 4, 7]
[4, 0, 0, 4, 4, 6, 7]
[0, 0, 0, 0, 0, 6, 7]
[1, 2, 0, 0, 5, 2, 1]
[4, 4, 0, 4, 0, 4, 4]
[4, 2, 3, 2, 4, 0, 2]
[1, 2, 3, 1, 4, 2, 0]
第5次循环:
距离矩阵:
[0, 6.2, -1, 1.2, 7.9, 9.299999999999999, 0.5]
[6.2, 0, -1, 5, 11.7, 3.1, 2]
[-1, -1, 0, -1, -1, 4, 1.5]
[1.2, 5, -1, 0, 6.7, 8.1, 1.7]
[7.9, 11.7, -1, 6.7, 0, 14.8, 8.4]
[9.299999999999999, 3.1, 4, 8.1, 14.8, 0, 5.1]
[0.5, 2, 1.5, 1.7, 8.4, 5.1, 0]
路由矩阵:
[0, 4, 0, 4, 4, 4, 7]
[4, 0, 0, 4, 4, 6, 7]
[0, 0, 0, 0, 0, 6, 7]
[1, 2, 0, 0, 5, 2, 1]
[4, 4, 0, 4, 0, 4, 4]
[4, 2, 3, 2, 4, 0, 2]
[1, 2, 3, 1, 4, 2, 0]
第6次循环:
距离矩阵:
[0, 6.2, 13.299999999999999, 1.2, 7.9, 9.299999999999999, 0.5]
[6.2, 0, 7.1, 5, 11.7, 3.1, 2]
[13.299999999999999, 7.1, 0, 12.1, 18.8, 4, 1.5]
[1.2, 5, 12.1, 0, 6.7, 8.1, 1.7]
[7.9, 11.7, 18.8, 6.7, 0, 14.8, 8.4]
[9.299999999999999, 3.1, 4, 8.1, 14.8, 0, 5.1]
[0.5, 2, 1.5, 1.7, 8.4, 5.1, 0]
路由矩阵:
[0, 4, 6, 4, 4, 4, 7]
[4, 0, 6, 4, 4, 6, 7]
[6, 6, 0, 6, 6, 6, 7]
[1, 2, 6, 0, 5, 2, 1]
[4, 4, 6, 4, 0, 4, 4]
[4, 2, 3, 2, 4, 0, 2]
[1, 2, 3, 1, 4, 2, 0]
第7次循环:
距离矩阵:
[0, 2.5, 2.0, 1.2, 7.9, 5.6, 0.5]
[2.5, 0, 3.5, 3.7, 10.4, 3.1, 2]
[2.0, 3.5, 0, 3.2, 9.9, 4, 1.5]
[1.2, 3.7, 3.2, 0, 6.7, 6.8, 1.7]
[7.9, 10.4, 9.9, 6.7, 0, 13.5, 8.4]
[5.6, 3.1, 4, 6.8, 13.5, 0, 5.1]
[0.5, 2, 1.5, 1.7, 8.4, 5.1, 0]
路由矩阵:
[0, 7, 7, 4, 4, 7, 7]
[7, 0, 7, 7, 7, 6, 7]
[7, 7, 0, 7, 7, 6, 7]
[1, 7, 7, 0, 5, 7, 1]
[4, 7, 7, 4, 0, 7, 4]
[7, 2, 3, 7, 7, 0, 2]
[1, 2, 3, 1, 4, 2, 0]
"""
posted @ 2022-05-21 00:30  听风者628  阅读(1083)  评论(0)    收藏  举报