狄克斯特拉（Dijkstra）算法 Python
狄克斯特拉（Dijkstra）算法
1.算法原理
已知图\(G=(V,E)\)，将其节点集分为两组：置定节点集\(G_p\)和未置定节点集\(G-G_p\)。其中\(G_p\)内的所有置定节点，是指定点\(v_s\)到这些节点的路径为最短（即已完成最短路径的计算）的节点。而\(G-G_p\)内的节点是未置定节点，即\(v_s\)到未置定节点距离是暂时的，随着算法的下一步将进行不断调整，使其成为最短径。
在调整各未置定节点的最短径时，是将\(G_p\)中的节点作为转接点。具体地说，就是将\(G_p\)中的节点作为转接点，计算\((v_s ,v_j)\)的径长\((v_j\in G-G_p)\)，若该次计算的径长小于上次的值，则更新径长，否则，径长不变。计算后取其中径长最短者，之后将\(v_j\)划归到\(G_p\)中。当\((G-G_p)\)最终成为空集，同时\(G_p=G\)，即求得\(v_s\)到所有其他节点的最短路径。
2.举例
如图
首先写出它的邻接矩阵，由于默认不考虑自环（即一个点有一条路径连接自己）的情况，所以规定一个点到它自己的距离为0，同时规定两个点之间如果无法直接到达则距离为\(\infin\)
\[\begin{pmatrix}
0 & 2 & 5 & 1 & \infin & \infin \\
2 & 0 & 3 & 2 & \infin & \infin \\
5 & 3 & 0 & 3 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 3 & 0 & 1 & \infin \\
\infin & \infin & 1 & 1 & 0 & 2 \\
\infin & \infin & 5 & \infin & 2 & 0
\end{pmatrix}
\]
现计算节点\(v_1\)到其他节点的最短路径
初始时，置定节点集\(G_p=\{\}\)，未置定节点集\(G-G_P=\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}\)
先用一张表格总览一下整个迭代过程
| 迭代次数 | \(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\) | 置定节点 | \(w_i\) | \(G_p\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | \(\begin{pmatrix}0 & 2 & 5 & 1 & \infin & \infin\end{pmatrix}\) | \(v_1\) | \(w_1=0\) | \(\{v_1\}\) |
| 1 | \(\begin{pmatrix}& & 2 & 5 & 1 & \infin & \infin\end{pmatrix}\) | \(v_4\) | \(w_4=1\) | \(\{v_1,v_4\}\) |
| 2 | \(\begin{pmatrix}& & 2 & 4 & & & 2 & \infin\end{pmatrix}\) | \(v_2\) | \(w_2=2\) | \(\{v_1,v_4,v_2\}\) |
| 3 | \(\begin{pmatrix}& & & & 4 & & & 2 & \infin\end{pmatrix}\) | \(v_5\) | \(w_5=2\) | \(\{v_1,v_4,v_2,v_5\}\) |
| 4 | \(\begin{pmatrix}& & & & 3 & & & & & 4\end{pmatrix}\) | \(v_3\) | \(w_3=3\) | \(\{v_1,v_4,v_2,v_5,v_3\}\) |
| 5 | \(\begin{pmatrix}& & & & & & & & & & 4\end{pmatrix}\) | \(v_6\) | \(w_6=4\) | \(\{v_1,v_4,v_2,v_5,v_3,v_6\}\) |
具体过程描述如下：
- 第0次迭代：\(\begin{pmatrix}0 & 2 & 5 & 1 & \infin & \infin\end{pmatrix}\)
- 看矩阵的第一行，它表示节点\(v_1\)到其他节点的距离，选择其中最小的一个。
- 显然\(v_1\)到自身距离最短，为0。所以把\(v_1\)加入置定节点集，同时移出未置定节点集，\(G_p=\{v_1\}\)，\(G-G_P=\{v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}\)，并记录下\(v_1\)到\(v_1\)的距离\(w_1=0\)
- 第1次迭代：\(\begin{pmatrix}& & 2 & 5 & 1 & \infin & \infin\end{pmatrix}\)
- 由于\(G_p=\{v_1\}\)，只有一个节点\(v_1\)，还是看第一行，但去掉第一列，找最小的数。
- 显然是\(v_1\)到\(v_4\)距离最小，\(w_4=1\)。所以把\(v_4\)加入置定节点集，同时移出未置定节点集，此时\(G_p=\{v_1,v_4\}\)，\(G-G_P=\{v_2,v_3,v_5,v_6\}\)
- 由于我们的\(G_p\)中多了一个节点，也就是说在考虑\(v_1\)到其他节点距离时有了一个中转点\(v_4\)，那么\(v_1\)到其他节点的距离可能会因为这个\(v_4\)的存在而缩短，或者原来\(v_1\)无法直接到达的点现在可以经过\(v_4\)来到达。
- 原来\(v_1\)到\(v_2\)的距离是2，如果经过\(v_4\)再到\(v_2\)距离是4，没有变小，所以不用改；
- 原来\(v_1\)到\(v_3\)的距离是5，如果经过\(v_4\)再到\(v_3\)距离是4（\(v_1\)到\(v_4\)的距离是1，\(v_4\)再到\(v_3\)的距离是3）比原来的小了，需要修改；
- 原来\(v_1\)无法到达\(v_5\)，但经过\(v_4\)后可以到达，距离为2，需修改：
- 原来\(v_1\)无法到达\(v_6\)，经过\(v_4\)仍无法到达，不用改
- 至此，\(v_1\)到其他节点的距离被更新为\(\begin{pmatrix}& & 2 & 4 & & & 2 & \infin\end{pmatrix}\)
- 第2次迭代：\(\begin{pmatrix}& & 2 & 4 & & & 2 & \infin\end{pmatrix}\)
- 此时\(G_p=\{v_1,v_4\}\)，找最小的数
- 到\(v_2\)距离最小，\(w_2=2\)，把\(v_2\)加入置定节点集，同时移出未置定节点集，此时\(G_p=\{v_1,v_4,v_2\}\)，\(G-G_P=\{v_3,v_5,v_6\}\)
- 此时我们又多了一个中转点\(v_2\)
- 原来\(v_1\)到\(v_3\)距离是4，经过\(v_2\)中转后距离是5，没有变小，不用改；
- 原来\(v_1\)到\(v_5\)距离是2，\(v_2\)无法中转，不用改；
- 原来\(v_1\)无法到达\(v_6\)，经过\(v_2\)仍无法到达，不用改
- 至此，\(v_1\)到其他节点的距离更新（其实完全没有更新）为\(\begin{pmatrix}& & & & 4 & & & 2 & \infin\end{pmatrix}\)
- 第3次迭代：\(\begin{pmatrix}& & & & 4 & & & 2 & \infin\end{pmatrix}\)
- 找最小
- 到\(v_5\)最小，\(w_5=2\)，\(G_p=\{v_1,v_4,v_2,v_5\}\)，\(G-G_P=\{v_3,v_6\}\)
- 又多了一个中转点\(v_5\)
- 原来\(v_1\)到\(v_3\)距离是4，经过\(v_5\)中转后距离是3，变小了，需要修改；
- 原来\(v_1\)无法到达\(v_6\)，经过\(v_5\)后距离变成4，修改
- 至此，\(v_1\)到其他节点的距离更新为\(\begin{pmatrix}& & & & 3 & & & & & 4\end{pmatrix}\)
- 第4次迭代：\(\begin{pmatrix}& & & & 3 & & & & & 4\end{pmatrix}\)
- 找最小
- 到\(v_3\)最小，\(w_3=3\)，\(G_p=\{v_1,v_4,v_2,v_5,v_3\}\)，\(G-G_P=\{v_6\}\)
- 又多了一个中转点\(v_3\)
- 原来\(v_1\)到\(v_6\)距离是4，经过\(v_3\)中转后距离是8，没有变小，不用修改
- 至此，\(v_1\)到其他节点距离更新为\(\begin{pmatrix}& & & & & & & & & & 4\end{pmatrix}\)
- 第5次迭代：\(\begin{pmatrix}& & & & & & & & & & 4\end{pmatrix}\)
- 找最小
- \(w_6=4\)，\(G_p=\{v_1,v_4,v_2,v_5,v_3,v_6\}\)，\(G-G_P=\{\}\)
- \(G-G_P\)空了，说明找完了，迭代结束
结果如下表所示
| 节点 | \(v_1\) | \(v_2\) | \(v_3\) | \(v_4\) | \(v_5\) | \(v_6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 最短路径 | \(\{v_1\}\) | \(\{v_1,v_2\}\) | \(\{v_1,v_4,v_5,v_3\}\) | \(\{v_1,v_4\}\) | \(\{v_1,v_4,v_5\}\) | \(\{v_1,v_4,v_5,v_6\}\) |
| 径长 | 0 | 2 | 3 | 1 | 2 | 4 |
3.实现代码
import copy
# 首先给出邻接矩阵,两个节点之间距离无穷大用-1表示
matrix = [[0, 2, 5, 1, -1, -1],
[2, 0, 3, 2, -1, -1],
[5, 3, 0, 3, 1, 5],
[1, 2, 3, 0, 1, -1],
[-1, -1, 1, 1, 0, 2],
[-1, -1, 5, -1, 2, 0]]
def dijkstra(adjacent_matrix):
# 获取节点数
node_number = len(adjacent_matrix)
# 置定节点集
G_p = []
# 未置定节点集
g_p = []
# 全部的节点集,用数字表示节点
G = []
for i in range(node_number):
G.append(i + 1)
g_p.append(i + 1)
# 用一个一维数组表示v_s节点到其他结点的距离,初始时,这个距离就是邻接矩阵的第s行
s = 1
distance = copy.deepcopy(adjacent_matrix[s - 1])
# 记录路径和径长
path = []
w = copy.deepcopy(adjacent_matrix[s - 1])
# 由于从v_s结点开始,路径的起点都是v_s
for i in range(node_number):
path.append([s])
# 开始迭代
for i in range(node_number):
# 遍历整个列表,找最小值,初始时假定最小值为最大值
min_value = max(distance)
min_index = distance.index(min_value)
for j in range(len(distance)):
if 0 <= distance[j] < min_value:
min_value = distance[j]
min_index = j
# 找到索引为min_index的节点是到v_s距离最短的,把他加入G_p中,并从g_p中移除,同时记录下最短距离
G_p.append(min_index + 1)
g_p.remove(min_index + 1)
w[min_index] = min_value
# -2表示这个点已经被选过了
distance[min_index] = -2
# 更新G_p后,需要对distance进行更新
# 对distance中的每一个数据,当添入新节点后是否有变化
# 只需考虑g_p中的节点即可
for j in g_p:
# 如果索引为min_index的节点可以到达v_j,并且从v_s到min_value再到v_j的距离比原来从v_s到v_j的距离要小
# 或者原来v_s无法到达v_j
if adjacent_matrix[min_index][j-1] > 0 and (
adjacent_matrix[min_index][j-1] + min_value < distance[j-1]
or distance[j-1] == -1):
distance[j-1] = adjacent_matrix[min_index][j-1] + min_value
# 一个新的中转点意味着从v_s到v_j必然会经过v_min_index,但是在把v_min_index加入路径之前要先把从v_s到v_min_index的路径加进去
for item in path[min_index]:
path[j-1].append(item)
path[j-1] = list(set(path[j-1]))
path[j-1].append(min_index+1)
print("第%d次迭代:" % i, distance, path, w)
dijkstra(matrix)
4.输出结果
'''
迭代次数:[节点选择情况] [最短路径] [所选节点到每个节点的最小距离]
第0次迭代: [-2, 2, 5, 1, -1, -1] [[1], [1], [1], [1], [1], [1]] [0, 2, 5, 1, -1, -1]
第1次迭代: [-2, 2, 4, -2, 2, -1] [[1], [1], [1, 4], [1], [1, 4], [1]] [0, 2, 5, 1, -1, -1]
第2次迭代: [-2, -2, 4, -2, 2, -1] [[1], [1], [1, 4], [1], [1, 4], [1]] [0, 2, 5, 1, -1, -1]
第3次迭代: [-2, -2, 3, -2, -2, 4] [[1], [1], [1, 4, 5], [1], [1, 4], [1, 4, 5]] [0, 2, 5, 1, 2, -1]
第4次迭代: [-2, -2, -2, -2, -2, 4] [[1], [1], [1, 4, 5], [1], [1, 4], [1, 4, 5]] [0, 2, 3, 1, 2, -1]
第5次迭代: [-2, -2, -2, -2, -2, -2] [[1], [1], [1, 4, 5], [1], [1, 4], [1, 4, 5]] [0, 2, 3, 1, 2, 4]
'''
graph LR
A((v1))---|2|B((v2))
A---|1|D((v4))
D---|1|E((v5))
E---|1|C((v3))
E---|2|F((V6))
浙公网安备 33010602011771号