ICPC World Finals 2021 部分题解

H.史前程序

签到题，可能因为比较典？

令左括号为 \(1\)，右括号为 \(-1\)。\(a_i\) 为每个串的 \(\operatorname{sum}\)，\(b_i\) 为前缀 \(\min\)。

先判一下 \(\sum a_i\) 是否等于 \(0\)，首先把 \(a_i\ge0\) 的拿出来，因为 \(a_i<0\) 的 \(b_i\) 也 \(<0\)。

这部分按照 \(b_i\) 从大到小排序，考虑假如非法了，调换顺序没用。

剩下的反着考虑（从后往前加），发现 \(b_i\leftarrow b_i-a_i,a_i\leftarrow-a_i\) 规约成和上面一样的问题。

代码：https://loj.ac/s/1655573

B.地下城探测者

钥匙为 \(k\)，陷阱为 \(t\)。

以起点为根考虑问题。先判掉 \(t\) 是 \(k\) 祖先的情况。

把整棵树完整绕一圈回到原点的代价是 \(2\) 倍边权和，如果没有这一堆限制，减去最大深度即可。

到了 \(k\) 之后，必须要先离开走到 \(t\) 那里（有可能要先走完 \(t\) 的子树）。

令 \(l=\operatorname{LCA}(k,t)\)。如果最后停留的点不在 \(l\) 的子树内，那不会带来额外的贡献。

否则考虑和 \((l,k)\) 这条链相交的长度，讨论一下发现带来的贡献是 \(\operatorname{len}\times2\)。

写法很多，我是维护了子树内不同儿子能延伸的长度的最大值和次大值。

讨论很容易错漏。

代码：https://loj.ac/s/1655626

I.蛛网漫游

显然是从远到近加入 bridge，考虑一个 strand 作为端点时有两种情况：

• 直接让答案等于另一端的答案

• 另一端的答案不如其它地方走过来更新

自然想到同时维护所有答案。

暴力的话就开一个数组，最初 \(s=0\)，其它都是 \(\inf\)。

每次先 check 一遍有没有相邻的 \(x,y\) 满足 \(a_x+1<a_y\)，把 \(a_y\leftarrow a_x+1\)。

加入一个 bridge 就直接 \(\operatorname{swap}(a_x,a_y)\)。

感受一下，过程中比较暴力的地方是更新一段公差为 \(\pm1\) 的等差数列。

只要优化了这个显然每次 check 是 \(O(1)\) 的。考虑使用 set 维护连续段。

嘴巴起来很快乐，写起来一车细节。

我写的时候 set 里就存了左端点，公差和首项扔到数组里。

每次看相邻两个段是否能更新，先判断相交的地方差是否大于 \(1\)，之后大讨论两边的公差，注意如果整段修改但没有合并的话下次更新要从被修改的地方开始。

具体看代码：https://loj.ac/s/1656315

写的挺丑，不知道线段树是咋维护这东西的。

E.自由标记的手牌

先玩一下第一个样例：

摸牌的方式：\(\binom{28}{4}\)，能看到的组合：\(\binom{28}{3}3!\)。发现前者除后者就是答案了。

这大概说明了这两者之间是有完美匹配的！

证明懒得胡了……

此时考虑 tag 这个东西。魔术师也是能看到 \(k\) 张牌 tag 的组合的，所以 tag 组合不同是独立的。

当然直接把概率加起来不对，只需要求出每个组合的摸牌方式数和能看到的组合数。

前者非常显然，后者先枚举一下背面朝上牌的 tag 就行。

枚举 tag 组合直接爆搜。这题场上没几个人过让人很难相信完美匹配这个结论。

代码：https://loj.ac/s/1656506

J.分流

简单模拟，先拓扑排序求出每个点流量，然后递归找编号。

代码：https://loj.ac/s/1685889

L.我在哪儿？

先预处理一下路径的形状。

可以在线维护所有等价类，每次只更新有 X 的，需要写一下，代码：https://loj.ac/s/1685934

有一个更简洁的写法，本质上时求每个路径的 LCP，所以把 X 放进去后排个序，LCP 一定在相邻的两者之间，代码：https://loj.ac/s/1685934。

K.带上梗

注意到数据范围后发现直接闵可夫斯基和就能过了，但本质原因还是值域太小，实际上可能性还是指数级的。

但有更好写并且很有趣的做法：

假如知道了最终的方向，那只需要让和这个方向点积的贡献最短就行了。

这下可以直接比大小，一次 DFS。

但是不知道方向，考虑随便钦定方向一定能找到两个凸包上的点（求最大/最小）。

做这两个点所在直线垂线作为方向，如果凸包上还有点一定能找到新的。

复杂度是凸包大小乘 \(n\) 的，主要是凸包内的点找凸包上最远点只能遍历一遍。

代码：https://loj.ac/s/1687520