TCO2014 Frozen Standings 题解

题意

有 \(n\) 个人，每个人有一个 \(a_i\) 。你可以给若干个人的 \(a_i\) 加一。这些人按分数为第一关键字，编号为第二关键字排名。问能有多少种排名。

\(1\le n\le5\times10^5\)

题解

双关键字排序，考虑本来是 \((a_i,i)\) ，可以合并成 \(Xa_i+i\) 。且每个人有两种选择，那把这两个数设为 \(L_i\) 和 \(R_i\) 。

直接设 \(f_i\) 为排序后前 \(i\) 个人方案数。

首先直接地有 \(f_i=2f_{i-1}\) ，考虑算重了那些东西：

无论取 \(L_i\) 还是 \(R_i\) ，对前面那些不交的 \([L_j,R_j]\) 都是不会改变顺序的。

而对于那些相交的 \([L_j,R_j]\) ， 只要有一个为 \(R_j\) 时，这两种选法会改变排名的顺序。

考虑容斥，枚举相交中从小到大第一个选 \(R\) 的，减去其选 \(L\) 时的方案数即可，这些方案中是能保证没有能影响这个的决策的。

所以式子大概是长这样子的： \(f_i=2f_i-\sum_{R_j\in[L_i,R_i]}f_{L_{i-1}}\)

对于那个 \(L_{i-1}\) 只要找到对应的那个人即可。

时间复杂度 \(O(n)\) 。

感觉这题很高妙，正确性不是很好理解，不过这篇题解显然是在口胡。