汉明码原理

简介

汉明码是一种能够检测和纠正（一位）数据传输中的错误的编码方法，通过在数据中添加额外的校验位 来实现。

原理

使用奇偶校验码 来进行检验和纠错的编码，由传输的数据位和校验位共同组成。

需要被插入的汉明码的位数与数据位的数量之间的关系为 2^P>=P+D+1，其中 P 代表汉明码的个数，D 代表数据位的个数。比如4位数据，加上1就是5，而能大于5的2的幂数就是3(2^3= 8，2^2= 4)。所以，7位数据时需要4位汉明码(2^4>4+7+1)，64 位数据时就要7位汉明码(2^7>7+64+1)。

示例

编码过程

首先，我们要确定需要添加多少位的校验位。为了简化，我们选择一个足以容纳4位数据的汉明码，即7位。现在，我们要确定每个校验位应该放在哪里。通常，校验位会放在2的幂位置（1、2、4、8等），而数据位则会放在其他位置。在我们的例子中，我们将原始数据放在位置1、2、3和5，然后计算校验位的值。

原始数据：_1_0_1_1

校验位：? ? 1 ? 0 1 1现在我们来计算校验位。在每个校验位的位置上，我们对应的数据位为1的个数是奇数还是偶数，并根据结果在校验位中放置一个1或0。

• 第1位（位置1）：1 1 ？1 0 1 1，奇数个1，所以校验位为1。
• 第2位（位置2）：? 0 1 1 0 1 1，偶数个1，所以校验位为0。
• 第4位（位置4）：1 0 1 ? 0 1 1，奇数个1，所以校验位为1。

最终编码结果为：1101011。

纠错过程

假设在传输过程中发生了一个位错误，例如，我们收到了1101111。现在，我们来使用汉明码的校验位来检测并纠正错误。

• 我们首先计算出每个校验位对应的数据位的奇偶性。在我们的例子中，位置1、2、4的奇偶性分别是奇数、偶数、奇数。
• 然后，我们检查实际接收到的数据中，每个校验位对应的数据位的奇偶性是否与预期相同。如果不同，那么我们就知道错误发生在校验位对应的数据位上。
• 在我们的例子中，位置1、2、4的奇偶性都与预期不同，这意味着错误发生在这三个位置上。通过翻转这三个位置上的位，我们可以纠正错误，从而得到正确的数据：1011。