树形DP——附LCCUP22题解

简介

树可以递归定义，树的每个子树也是一颗完整的树。
在树形动态规划当中，我们一般先算子树再进行合并，在实现上与树的 后序遍历 相似，都是先遍历子树，遍历完之后将子树的值传给父节点。简单来说我们动态规划的过程大概就是先递归访问所有子树，再在根上合并。

实例

LCCUP22-P3

二叉树灯饰

思路

任意一个节点，会受到哪些因素影响：

• 其祖先节点的开关2的切换次数，奇数 = 切换，偶数 = 不切换 => bool表示
• 其父节点是否切换开关3 => bool表示

定义状态 (当前节点，祖先节点开关 2 的切换次数的奇偶性，父节点是否切换了开关 3)，f(node, switch2, switch3) 每个状态表示从当前状态出发，最少需要操作多少次开关，可以关闭子树所有节点的灯。

判断当前节点灯的开启关闭——
开启：

• 初始灯 = 开，且switch2和switch3抵消（祖先节点开关2切换奇数次且父节点切换开关3 / 祖先节点开关2切换偶数次且父节点不切换开关3）
• 初始灯 = 关，且switch2和switch3不抵消（祖先节点开关2切换奇数次且父节点不切换开关3 / 祖先节点开关2切换偶数次且父节点切换开关3）

关闭：

• 初始灯 = 开，且switch2和switch3不抵消
• 初始灯 = 关，且switch2和switch3抵消

进一步简化，得到判断表达式：

(node.val == 1) == (switch2 == switch3)

如果当前受到祖先节点的开关影响后，变成开灯状态，那么可以操作一个或三个开关：

• 操作开关 1；
• 操作开关 2；
• 操作开关 3；
• 操作开关 123；

四种操作取最小值。

如果变成关灯状态，那么可以操作零个或两个开关：

• 不操作任何一个开关；
• 操作开关 12；
• 操作开关 13；
• 操作开关 23；
• 这四种操作取最小值。

同时需要用记忆化搜索进行剪枝。

时间复杂度——
O(状态个数) × O(单个状态的转移个数) = O(4n) × O(8) = O(n)

代码

class TreeNode:
    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.left = None
        self.right = None
class Solution:
    def closeLampInTree(self, root: TreeNode) -> int:
        @cache  # 记忆化搜索
        def f(node: TreeNode, switch2: bool, switch3: bool) -> int:
            if node is None:
                return 0
            if (node.val == 1) == (switch2 == switch3):  # 当前节点为开灯
                res1 = f(node.left, switch2, False) + f(node.right, switch2, False) + 1
                res2 = f(node.left, not switch2, False) + f(node.right, not switch2, False) + 1
                res3 = f(node.left, switch2, True) + f(node.right, switch2, True) + 1
                res123 = f(node.left, not switch2, True) + f(node.right, not switch2, True) + 3
                return min(res1, res2, res3, res123)
            else:  # 当前节点为关灯
                res0 = f(node.left, switch2, False) + f(node.right, switch2, False)
                res12 = f(node.left, not switch2, False) + f(node.right, not switch2, False) + 2
                res13 = f(node.left, switch2, True) + f(node.right, switch2, True) + 2
                res23 = f(node.left, not switch2, True) + f(node.right, not switch2, True) + 2
                return min(res0, res12, res13, res23)

        return f(root, False, False)