寻找带环的链表的柄长

试题：
给定一个带环的链表，找出环起点。
比如：A -> B -> C -> D -> E -> C （C为环形起点）
写一个程序找出环起点C。

ListNode结构如下，请实现 ListNode* find_circle_beginning(ListNode* head);函数，返回环的起点。

struct ListNode
{
    char val;
    ListNode* next;
};

 

答案：

1、先用快指针（每次走两步）和慢指针（每次走一步），遍历链表，当两个指针相遇时，说明该链表存在环。
2、当两个指针遇到时，慢指针退回到链表起点，快指针保留在相遇点，两个指针都以一次一步前进，再次相遇的点就是环的起点。

 

源码如下：

ListNode* find_circle_beginning(ListNode* head)
{
    if( head == NULL )
    {
        return NULL;
    }

    ListNode* slow = head;
    ListNode* fast = head;
   
    // 寻找相遇点
    while( slow != NULL && fast != NULL && fast->next != NULL )
    {
        slow = slow->next;
        fast = fast->next->next;
        if( fast == slow )
        {
            // 在此相遇，说明存在环
            break;
        }
    }

    // 如果两个指针不等，说明不存在环
    if( fast != slow )
    {
        return NULL;
    }

    /*
        慢指针退回到链表起点，快指针保留在相遇点，两个指针都以一次一步前进，再次相遇的点就是环的起点。
        稍后会给出证明
    */  
    slow = head;
    while( slow != fast )
    {
        slow = slow->next;
        fast = fast->next;
    }

    return fast;
}

 

证明：

假设环柄长度AB为h，环的长度为p，相遇点为C.

 

当快指针和慢指针相遇时，慢指针在环上走了m步，总共就是h+m，快指针走过的长度就是2(h+m)，在环上走过的长度就是h+2m。在相遇点相遇时，存在以下关系：
(h+2m)%p = m%p
==> ((h+m)+m)%p = m%p
==> (h+m)%p = 0
==> h%p + m%p = p      式(1)

 

假设BC的长度是m1，则有m%p = m1，带入式(1)得到：
h%p = p - m1
==> h = (p - m1) + ap (a >= 0)

当第二次相遇时，慢指针从头走过h，快指针走(p-m1)+ap，然后在环起点相遇。

 

小结：

本文的证明实际是倒推的结果。该方法实际上是叫做Pollard's Rho Method，详见http://www.csh.rit.edu/~pat/math/quickies/rho/