2023年阿里达摩院全球数学竞赛 预赛 第四题

为了对本人本科+研究生的学习作个交代，现在最起码每天刷点高数，直至 3 小时能拿下数学题吧。

今天早上饶有兴趣地逛了自己的知乎，于是看到收藏的 2023年 阿里数学竞赛，预赛。第四题，那么过程就放上来吧！

 

题目

 

 

解题

1.一开始我思索着，直击写一段代码，让计算机帮我算。所以我关注的是【规则】。

 

2.整理完这些规则之后，我开始分析题目中的条件。就是【跑遍所有的路口】，换言之，10条线相交之后，质点必须经过每一个交点。

思考最简单的情形，质点跑一个单位，右转，跑一个单位，右转，跑一个单位，右转。就回到原点了。

那么问题来了。

 

01 怎么遍历所有的交点呢？

 

如果不考虑一笔画问题，只是考虑遍历所有交点，这个时候，只要沿着横线（或者竖线）一条一条地遍历即可。

 

因为有一笔画问题，每个交点只能遍历一遍。因此，上述路径修改为

 

这样就完成了这道题的一笔画问题。

 

02 如何计算时间（或者 COST）？

 

内部：直行路口 7 个，路径8条，共直行 56次
外部：直行路口 8 个，路径 3 条，共直行 24 次
转弯：右转无成本，左转成本2，每个长方体成本 4，共 4 个，16次等待
综上，等待时间单位数量 = 56 + 24 + 16 = 96

 

比较有意思的是，原来不是一笔画的时候，算出来是多少 COST？

 

只考虑把节点遍历：
8个路口 * 10 = 80个路口=80 Unit
左转路口 8 个 = 16 Unit
综上，80 + 16 = 96 unit

 

非常巧合，也是 96 个unit。

 

那么，遍历和一笔画的 COST 是一样的，这是巧合吗？

思考 20 x 20 矩阵。

首先，考虑一笔画问题。

 

如果 20 * 20
内： 17 * 18 = 306
外：18 * 3 = 54
转：2 * 2 * 9 = 36
综上， 306 + 54 + 36 = 396

 

再次，考虑直接一行一行全部遍历的情况。

 

20 * 20
18个路口，20条马路 = 360 Unit
转： 2 * 2 * 9 = 36
综上，360 + 36 = 396

 

我们神奇地发现，这个一笔画问题退化的时候，不影响计算结果。

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