动态规划

实现方法

动态规划是付出额外的内存空间来节省计算时间，通常有两种实现方法：

1 带记忆的自顶向下法

按照自然递归方式编写过程，过程中保存每个子问题的解（散列表或者数组）。当需要子问题的解时，首先检查是否已经保存过此解。若是，则返回保存的值；否则重新计算。“记住”了之前已经计算过的结果。

2 自底向上

将子问题按照规模排序，按照由小到大的顺序求解。当求解某个子问题时，它所依赖的更小的子问题都已经解决，结果已经保存。每个子问题只需求解一次，其更小的子问题也已经解决。

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适用问题

用动态规划的问题应该具备两个要素：

1 最优子结构

如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解，则此问题就具备最优子结构。保持子问题尽可能简单，只有在必要时才扩展。即问题可以向下分解，它的子问题的最优解可以拼凑出它的最优解。要注意子问题应该是相互无关的比较好。

2 重叠子问题

子问题的空间要足够“小”，即问题的递归算法会反复求解相同的子问题，而不是一直生成新的子问题（即如果问题蛮力求解时会重复计算已经算过的，就存在重叠子问题，可以把这些解保存起来避免重复计算）。

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解题步骤

• 状态定义

• 转移方程

• 初始化

• 返回值