初等数论

一、整除

设 a、b 都是非 0 整数，如果存在一个整数 q，使得 b=a*q，那么就说 b 可被 a 整除，记作 a | b，且称 b 是 a 的倍数，a 是 b 的约数（因子）。例如：3 | 12，21 | 63。

 

整除的性质：

1、如果a | b 且 b | c，那么a | c

2、a | b 且 a | c 等价于对任意的整数 x、y，有 a | (b*x+c*y)

3、设 m<>0，那么 a | b 等价于 (m*a) | (m*b)

4、设整数 x、y 满足：a*x+b*y=1，且 a | n、b | n，那么 (a*b) | n

证明：因为a | n 且 b | n，由性质 3 可得(a*b) | (b*n)且(a*b) | (a*n)

再由性质 2 得(a*b) | (a*n*x+b*n*y)

而a*n*x+b*n*y=n*(a*x+b*y)=n*1=n

所以 (a*b) | n

5、若 b=q*d+c，那么 d | b 的充要条件是 d | c

 

一些有用的例子：

若 2 能整除 a 的最末位（约定 0 可以被任何数整除），则 2 | a；

若 4 能整除 a 的最后两位，则 4 | a；

若 8 能整除 a 的最后三位，则 8 | a；

……

若 3 能整除 a 的各位数字之和，则 3 | a；

若 9 能整除 a 的各位数字之和，则 9 | a；

若 11 能整除 a 的偶数位数字之和与奇数位数字之和的差，则 11 | a；

能被 7、11、13 整除的数的特征是：这个数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差能被 7、11、13 整除。

 

说明：将一个多于4位的整数在百位与千位之间分为两截，形成两个数，左边的是原来的千位、万位成为个位、十位（依此类推）。将这两个新数相减（较大的数减较小的数），所得的差不改变原来数能被7、11、13整除的特性。这个方法可以连续使用，直到所得的差小于1000为止。

例如：判断71858332能否被7、11、13整除？

这个数比较大，将它分成71858、332两个数（右边是三位数），71858-332=71526

再将71526分成71、526两个数（右边是三位数），526-71=455

由于455数比原数小得多，相对来说容易判断455能被7和13整除，不能被11整除，

所以原来的71858332能被7和13整除，不能被11整除

 

二、最大公约数与最小公倍数

一般地，设 a1、a2、a3、…、ak 是 k 个非 0 整数，如果存在一个非 0 整数 d，使得d | a1、d | a2、…、d | ak，那么 d 就称为a1、a2、a3、…、ak 的公约数。公约数中最大的一个称为最大公约数，记为GCD（a1、a2、a3、…、ak），显然它是存在的，至少为1。当GCD=1时，称这n个数是互质的或既约的。公约数一定是最大公约数的约数。

一般地，设 a1、a2、a3、…、ak 是 k 个非 0 整数，如果存在一个非 0 整数 d，使得a1 | d、a2 | d、…、ak | d，那么 d 就称为a1、a2、a3、…、ak 的公倍数。公倍数中最小的一个称为最小公倍数，记为LCM（a1、a2、a3、…、ak），显然它是存在的。公倍数一定是最小公倍数的倍数。

数学上，求两个数的最大公约数常用辗转相除法（或辗转相减法）；而求两个数的最小公倍数的方法可以用穷举法或逐步倍增法，如求 3 和 8 的最小公倍数，可以让 n 从 1 开始逐步加 1，不断检查 8*n 是不是 3 的倍数。

定理：a、b 两个数的最大公约数乘以它们的最小公倍数等于 a 和 b 本身的乘积。

 

三、勾股数

对于正整数X、Y、Z，如果满足下列不定方程：X*X+Y*Y=Z*Z，则称这组正整数（X、Y、Z）为勾股数，它们有着不同的几何含义，如作为一个三角形的三条边。一般限定 X 和 Y 互质，且 X 为偶数。认为（4、3、5）和（6、8、10）为本质相同的勾股数，（X、Y、Z），（X、Z、Y），（Y、X、Z），（Y、Z、X），（Z、X、Y），（Z、Y、X）是一组相同的勾股数。

勾股数有如下性质：

1、X、Y、Z 一定两两互质

2、X、Y 一定一奇一偶

3、X+Z 一定是一个完全平方数

4、(Y+Z)/2 一定是一个完全平方数

5、X*Y*Z 一定能被60整除

四、完全数

把全部因数之和（除其本身以外）等于本身的数称为完全数（perfect number，又称完美数）。

将本身大于其因数之和的数称为盈数；将本身小于其因数之和的数称为亏数。

6 是一个完全数，因为6=1+2+3；

直到1952年，人类才知道 12 个完全数，它们都是偶数，其中前三个是6、28和496。

 

五、亲和数

两个数是亲和的，即一个数的真因子的和等于另一个数。例如 284 和 220 就是亲和的，因为284的真因子是 1、2、4、71、142，其和为220；而220的真因子有 1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，其和为284。

其余的亲和数有：1184 和 1210、17296 和 18416。

瑞士数学家欧拉着手于系统地寻找亲和数，1747 年他给出了一个 30 对亲和数的表，后来又扩展到超过 60 对。

六、同余

若 a、b 为两个整数，且它们的差 a-b 能被某个自然数 m 所整除，则称 a 就模 m 来说同余于 b ，或者说 a 和 b 关于模 m 同余，记为：a≡b（mod m）。它意味着：a-b=m*k（k 为某一个整数）。

例如：32≡2（mod 5），此时 k 为 6。

 

同余的性质：

对于整数 a、b、c 和自然数m、n，则对模 m 同余满足：

1、自反性：a≡a（mod m）

2、对称性：若 a≡b（mod m），则 b≡a（mod m）

3、传递性：若 a≡b（mod m），b≡c（mod m），则 a≡c（mod m）

4、同加性：若 a≡b（mod m），则 a+c≡b+c（mod m）

5、同乘性：若 a≡b（mod m），则 a*c≡b*c（mod m）

一般情况，若 a≡b（mod m），c≡d（mod m），则有 a*c≡b*d（mod m）

6、同幂性：若 a≡b（mod m），则（a 的 n 次方）≡ b 的 n 次方（mod m）

7、若 a mod p=x，a mod q=x，p、q 互质，则 a mod （p*q）=x。

证明：因为 a mod p=x，a mod q=x，p、q 互质

则一定存在整数 s，t，使 a=s*p+x，a=t*q+x

所以 s*p=t*q

则一定存在整数 r，使s=r*q

所以：a=r*p*q+x，得出：a mod（p*q）=x

但是，同余不满足同除性，即不满足：a/n≡b/n（mod m）

七、素质

素数又称质数，是指除了 1 和它本身以外，没有其他的约数的大于 1 的正整数，例如 2、3、5、7 等等，反之就是合数。1 既不是素数也不是合数。

素数就像整数世界里的原子，整个整数世界都是由这些素数原子组成的，比如 15=3*5，121=11*11等。

2000年古希腊数学家欧几里德用反证法证明了：素数有无穷多个。他是这样证明的：设 a，b，c 是给定的素数，构造一个新的数：t=a*b*c+1，则已有的素数 a，b，c 均不能整除 t ，所以要么 t 本身就是素数，此时 t 不等于 a，b，c 中任意一个数；要么 t 能被不同于 a，b，c 的某一个素数整除，因此必然存在一个素数 p 不同于已有的素数 a，b，c 。例如：2*3*5+1=31，3*5*7+1=106=2*53。也就是说，有了 n 个素数，就可以构造出第 n+1 个素数，因此素数有无穷多个。

拓展：

数学家们一直在寻找大质数，大质数在密码通信方面非常有用，他们设计了一种数论密码，编制方法如下：选定正整数 S 与某两个质数之积 R（一般R为100位以上的大数），对于明码数字 X，0<=X<R，取 Y 为密码数字：Y≡X*S（mod R），0<=Y<R。

R 和 S 可以公开，但需要保密的是 R=P*Q 的两个质因数 P 和 Q，P、Q均被取成 40 位以上的数，且 S 的选择使得 S 和 P-1及 S 和 Q-1 均互质。

要破这样的密文，需要从100 位以上的数 R，计算出它的两个 50 位左右的质因数 P 和 Q，即使使用最快的计算机也很难在短时间内破掉。

 

素数的几个定理：

1、惟一分解定理

若整数 a>=2，那么 a 一定可以表示为若干个素数的乘积（惟一形式），即：

a=p1*p2*p3*…*ps（其中 pj 为素数，称为 a 的质因子，1<=j<=s）

如：1260=2*2*3*3*5*7

2、威尔逊（Wilson）定理

若 P 为素数，则（P-1）! ≡ -1（mod P），注：n ! 表示1*2*3*……*n。

威尔逊定理的逆定理也成立。即：若对某一正整数 P，有（P-1）! ≡ -1（mod P），则 P 一定为素数。

既然如此，则有（P-1）!+1 一定是 P的倍数。

3、费马（Fermat）定理

若 P 为素数，a 为正整数，且 a 和 P 互质，则：a^p-1 ≡ 1（mod P）。

证明：

首先，P-1 个整数 a，2a，3a，…，（P-1）a 中没有一个是 P 的倍数。

其次，a，2a，3a，…，（P-1）a 中没有任何两个同余于模 P 的。

于是：a，2a，3a，…，（P-1）a 对模 P 的同余既不为 0，也没有两个同余相同，因此，这 P-1 个数对模 P 的同余一定是1，2，3，…，P-1 某一种排列，即：

a*2a*3a*…*（P-1）a ≡ 1*2*3*…*（P-1）(mod P)

化简为：

a^p-1 *（P-1）! ≡ （P-1）!  (mod P)

又由于 P 是素数，根据威尔逊定理得出（P-1）! 和 P 互质。所以约去（P-1）!

得到：a^p-1 ≡ 1（mod P）

其实这是一种特殊情形，一般情况下，若 P 为素数，则：a^p ≡ a（mod P），这就是著名的费马小定理。

4、欧拉定理

费马定理是用来阐述在素数模下，指数的同余性质。当模是合数的时候，就要应用范围更广的欧拉定理了。

（1）欧拉函数

设 n 为正整数，欧拉函数 φ（n）定义为不超过 n，且与 n 互质的正整数的个数。下表为 1<=n<=15 的 φ（n）值。

 

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
φ(n)	1	1	2	2	4	2	6	4	6	4	10	4	12	6	8

（2）引理1

A、如果 n 为某一个素数 p，则：φ（p）=p-1；

B、如果 n 为某一个素数 p 的幂次 p^a，则：φ（p^a）=（p-1）*p^a-1；

C、如果 n 为任意两个素质的数 a，b 的积，则：φ（a*b）=φ（a）*φ（b）；

八、Catalan 数

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰(1814–1894)的名字来命名，其前几项为：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...