【NOI1999】生日蛋糕

Description

制作一个m层，体积为n的蛋糕，每层都是一个圆柱体，且下面的圆柱体的半径和高度必须大于上面的，求一种方案使得表面积最小（表面积不含底面积）

Solution

搜索题，我们考虑如下优化（假定当前搜索到第i层，已经用了体积v，表面积s）：

1. 为了减少搜索分支的数量，我们从下往上搜索，且从大到小枚举半径和长度
2. 确定半径和高度的上下界：$nowr\in\left[dep, min(r[dep+1]-1,\sqrt{n-v})\right]$，$nowh\in\left[dep, min(h[dep+1]-1,\frac{n-v}{r^2})\right]$
3. 预处理从上往下的体积和表面积最小值，如果当前体积+往后的最小体积>n，那么直接结束
4. 如果当前表面积+往后最小表面积>当前搜到的答案，那么直接结束
5. 前dep-1层的体积可以表示为$n-v=\sum\limits_{i=1}^{dep-1}{h[i]*r[i]^2}$，表面积可以表示为$2\sum\limits_{i=1}^{dep-1}{h[i]*r[i]}$。由于$2\sum\limits_{i=1}^{dep-1}{h[i]*r[i]}=\frac{2}{r[dep]}\sum\limits_{i=1}^{dep-1}{h[i]*r[i]*r[dep]}\geq \frac{2}{r[dep]}\sum\limits_{i=1}^{dep-1}{h[i]*r[i]^2} \geq \frac{2(n-v)}{r[dep]}$，所以当$s+\frac{2(n-v)}{r[dep]}$大于搜索到的答案是剪枝即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 25;
int n, m;
int minv[N], mins[N], r[N], h[N], ans = 1000000000;
void dfs(int now, int v, int s) {
    if (v + minv[now] > n) return ;
    if (s + mins[now] > ans) return ;
    if (s + 2 * (n - v) / r[now + 1] >= ans) return ;
    if (now == 0) {
        if (n == v) ans = s;
        return ;
    }
    for (register int nowr = min((int)sqrt(n - v), r[now + 1] - 1); nowr >= now; nowr--)
        for (register int nowh = min((n - v) / nowr / nowr, h[now + 1] - 1); nowh >= now; nowh--) {
            r[now] = nowr;
            h[now] = nowh;
            int t = 0;
            if (now == m) t += nowr * nowr; 
            dfs(now - 1, v + nowr * nowr * nowh, s + 2 * nowr * nowh + t);
        }
}
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (register int i = 1; i <= m; ++i) {
        minv[i] = minv[i - 1] + i * i * i;
        mins[i] = mins[i - 1] + 2 * i * i;
    } 
    r[m + 1] = h[m + 1] = 1000000000;
    dfs(m, 0, 0);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}