随笔分类 - 数论&数学
摘要：DP模型 形如$f(i)=\max \{f(j)+w(i,j)\}\quad(1\le j
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摘要：Description 【LuoguP1630】求和 给定$a,b$，求$(\sum\limits_{i=1}^{a}{i^b})\mod 10000$ 多组询问，$a,b\le 1e9$ Solution 前缀和+快速幂 如果暴力计算答案，那么时间复杂度为$O(Tab)$ 使用快速幂优化，那么时间
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摘要：Description 给定$n$, $m$，求十进制$n$位数每个位数之积等于k的方案数 Solution dp+高精+数学 考虑$k=0$的情况，由于可以有若干个$0$，所以方案数为$\sum\limits_{i=1}^{n}{n\choose m}\times 9^{n-i}$ 考虑另外的情况
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摘要：Description 【CF1207F】Remainder Problem 给定一个序列，支持如下操作： 将$x$位置的值加上$y$ 求出$\sum\limits_{i\ mod\ x= y}{a_i}$的值 Solution 类似于分块的思路 可以肯定，$O(n^2)$肯定是T飞了 我们假设以T
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摘要：Description 【CF1197D】Yet Another Subarray Problem 给定一个序列和m,k，求出一个子序列使得$\sum\limits_{i=l}^{r}{a_i}-k\times \lceil \frac{r-l+1}{m}\rceil$最大 特别地，一个长度为0的子
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摘要：date：2019.8.20 我第一次打CF的比赛，感觉题目非常新颖并且非常棒，但是由于翻译软件不太给力所以我对题意的理解也不是很透彻，最后我做出了前两道题，感觉还可以吧 A. Description 给定一个用二进制表示的数n，求小于n的4的正整数次幂的个数 其中$n\leq 2^{100}$ S
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摘要：Description 【HAOI2008】硬币购物 给定4种硬币的价值。若干组询问，每次给出4种硬币的数量和要购买的花费，求恰好购买的方案数 Solution 背包dp计数+容斥 如果不考虑硬币数量的限制，那么这个问题就是完全背包方案数问题，一遍dp就可以解决 现在加上数量的限制，那么合法方案数就
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摘要：Description UVa#11806 在一张$n\times m$的网格图中放k个人，要求第一行第一列最后一行最后一列都必须放人，每个人都必须放，同一位置只能有一个人 求方案数对1e6+7取模的结果 Solution 容斥原理+状压 由于非法的方案数十分好求，所以我们考虑用总数-非法方案数来求
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摘要：Description UVa#10325 给定n和m个数，求1~n中不被这m个数中任意一个数整除的数的个数 Solution 容斥原理 假设现在求1~n中被这a，b中任意一个数整除的数的个数 这个区间中能被a整除的数的个数是$\lfloor\frac{n}{a}\rfloor$ 同理，能被b整除的
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摘要：Description 给定$p$，求$2^{2^{2^{2^{2^{...}}}}}\mod p$的值，多组询问。 Solution 首先我们要知道欧拉定理的推论： 在b,p互质时，存在$a^b\equiv a^{b\mod \phi (p)}\pmod p$ 在b,p不互质且b>φ(p)时，存在
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摘要：Description 给定一个环形的01序列，保证任意相邻的m个值中有不超过k个1，求满足要求的方案数对1e9+7取模的值 Solution 状压dp+矩阵快速幂 由于m的范围很小，所以我们考虑状压dp存储状态，而由于n很大，所以我们考虑矩阵快速幂优化转移 我们定义$f(i,j)$表示前i个数最后
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摘要：Description 定义序列a的通项公式为$a_i=\left\{\begin{aligned}1 && i \leq 3 \\a_{i-1}+a_{i-3} && i \geq 4\end{aligned}\right.$ 求序列a的第n项对1e9+7取模的值 Solution 由于n的值很大
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摘要：Description 给定n，求斐波那契数列第n项对1e9+7取模的值 Solution 由于数据太大，朴素的递推会超时，所以我们考虑用矩阵优化。 首先我们要明确矩阵乘法的运算法则，假设A是一个n*m的矩阵，B是一个m*p的矩阵，C是一个n*p的矩阵且满足C=A*B，那么存在 $$C_{i,j}=
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摘要：Description 给定$y, z, p$，求$x=y^{z} \mod p$或$xy\equiv z \pmod p$或$y^x\equiv z\pmod p$中x的值 Solution 第一个式子我们可以直接用快速幂求解答案。时间复杂度$O(log_{2}z)$ 第二个式子我们可以变形为$x
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摘要：Description 给定n，m，求一个包含n个1，m个0，且任何前缀的1的数量必须大于0的数量的合法01串的数量，答案对20100403取模。 Solution 我们建立坐标系，定义x坐标为1和0的数量的和，y坐标表示1和0的数量的差，那么向右上走就表示选择1，向右下走就表示选择0。 如果不考虑
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摘要：Description 给定形如$a^x\equiv b\pmod p$的高次同余方程，求解$x$ Solution BSGS的模板题 假设$x=i*t-j$，并且$t=\lceil\sqrt p\rceil,0\leq j\leq {t-1}$ 那么方程可化为$a^{i*t-j}\equiv b\
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摘要：Description 给定若干个形如$x\equiv a_i \pmod {b_i}$的同余方程，其中b不保证两两互质，求最小非负整数解x Solution 扩展中国剩余定理的模板题。 假定我们已经求出了前k-1个方程的一个解为x 并且记$M=\prod\limits_{i=1}^{k-1}{b_
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摘要：Description 给定若干个形如$x\equiv a_i \pmod {m_i}$的同余方程，其中m两两互质，求x Solution 这是中国剩余定理的模板题，具体解法如下： 我们首先求出$M=\prod\limits_{i=1}^{n}{m_i}$ 那么令$M_i=\frac{M}{m_i}
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摘要：Description 给定n,k，求$\sum\limits_{i=1}^{n}(k\ mod\ i)$的值 Solution 这是一道整除分块的模板题。 我们将mod运算拆开，得到$ans=n\times k-\sum\limits_{i=1}^{n}(\lfloor\frac{k}{i}\rf
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摘要：Description 给定n,m，求 $\sum\limits_{i=1}^{n} \! \sum\limits_{j=1}^m[i\neq j](n\ mod \ i)(m \ mod \ j)\mod 19940417$的值 Solution 我们先求出$\sum\limits_{i=1}^{
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