6、泰勒公式理解

参考：https://baike.baidu.com/item/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E5%85%AC%E5%BC%8F/7681487?fr=aladdin

1、泰勒公式定义：是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。

2、泰勒公式的应用：泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

3、中值定理

由导数的定义可知，当函数 在点 处可导时，在点  的邻域  内恒有

       因为 是一个无穷小量，故有。这是在对函数进行局部线性化处理时常用的公式之一。从几何上看，它是用切线近似代替曲线。然而，这样的近似是比较粗糙的，而且只在点的附近才有近似意义。为了改善上述不足，使得近似替代更加精密，数学家们在柯西中值定理的基础上，推导出了泰勒中值定理（泰勒公式）。

       若函数 在包含 的某个开区间 上具有 阶的导数，那么对于任 一  ，有

 其中， ，此处的 为  与 之间的某个值。称为 阶泰勒公式，其中 ，称为 次泰勒多项式，它与   的误差 ，称为  阶泰勒余项。

          如果函数  的  阶导数在  上有界  ，从而有

          表明  ，另外也可证明对固定的 ，当  时， ，即，要想使 与 

 误差减小，则可将  取小，也可将 取大。在 阶泰勒公式中，，从而可得：

 此时  为 ，其中 为 与 之间的某个值，该式称为函数  在 处的

阶泰勒公式，也称作 的 阶麦克劳林（Maclaurin）公式，其余项常写为  或者

两种形式，用    阶导数表示的余项叫拉格朗日余项，用  或者  表示的余项叫作皮亚诺（Peano）余项。

 4、几何意义

       泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。

5、一元泰勒公式

              一个通用表达式 ，根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有

，其中误差  是在 ，即 的前提下才趋于 0 ，在近似计算中往往不够精确。

6、多元泰勒公式

 除了一元泰勒公式外，多元泰勒公式的应用也非常广泛，特别是在微分方程数值解和最优化上有着很大的作用。