关于反三角函数及其导数

 

反三角函数是基本初等函数的重要组成部分，但似乎又是许多人常问的主体之一。为了方便理解和查询，本文总结了以下内容：

• 常见的六种三角函数对应的反三角函数的定义、定义域、值域，并给出对应三角形图示汇总、对应图象汇总
• 利用反函数求导法则完成了上述所有反三角函数的导数公式的推导，并详细总结了其值域、定义域等内容

本文内容也可作为备忘资料以便查阅使用。

一、常用三角函数与反三角函数

• 常见的六种三角函数可以分别由以下六种三角形表示

图1.三角函数及其对应三角形
​

• 反三角函数是三角函数的反函数。若将上图中所有x,y​ 调换位置则得到反三角函数的图示：

图2.反三角函数及其对应三角形

上述反三角函数的图象如下图所示：

图3.反三角函数的图象

在使用反三角函数时一定要注意其定义值和值域。

表1. 反三角函数的定义值及值域 反三角函数

三角函数定义域值域

 

 

二、反三角函数的导数的推导过程

反函数求导公式在另一篇笔记里已经回顾过：关于反函数的高阶导数

反函数的导

数等于直接函数的导数的倒

数。

 

 

先给结论：

表2. 反三角函数的导数及其定义域

编号

导数定义域

 

接下来依次证明：

1、反正弦函数

的导数

 

 

2、反余弦函数

的导数

证法I： 类似推导

 

 

证法II：由

，于是

 

 

3、反正切函数

的导数

 

 

4、反余切函数

的导数

证法I：类似3，略。

证法II： 类似2，由

，于是

 

 

5、反正割函数

的导数

 

 

标

部分主要是要把上一步完全由 表示，由于有以下恒等关系
i)
因此:
ii) 这时必须注意到 的取值范围 (见表1.）。而在这一步中不能取任何一个端点。同时注意到：
时： 都大等于
时： 都小等于
因此：
综上：标

步的写法可以保证这一不等关系始终成立。

6、反余割函数

的导数

证法I：类似5，略。

证法II： 类似2，由

，于是

 

 

 

 

小结

本文简单总结了反三角函数的定义、其对应的三角函数、其定义域、值域，其后利用反函数求导法则完成了所有反函数求导公式的推导证明。不难看出上述推导过程其实都并不复杂（除反正割、反余割函数外），若能熟练使用各种三角函数变换技巧则能轻松完成所有证明。在实际使用三角函数时，图1,图2给出的图示十分有用，尤其在考虑积分换元时。另外，在使用反三角函数时，一定要明确各个三角函数的定义域及值域，这一点在第5个证明中体现得较为明显。若忽视这些细节，则十分容易出错。

 

 

引用https://zhuanlan.zhihu.com/p/201720785