数据结构与算法-递归和回溯

第二章递归和回溯

基础引言

• 什么是递归：任何调用自身的函数称为递归。
• 为什么要用递归：一般来说，在编译或解释时，循环会转化为递归函数。当任务能够被相似的子任务定义时，采用递归处理十分有效。例如，排序、搜索和遍历等问题往往有简洁的递归解决方案。

递归函数的格式

理论

递归函数在执行一个任务时，需要调用函数自身来完成一些子任务。在某些时候，函数不需要继续调用函数自身就可以完成当前子任务。函数不再递归的情况称作基本情形（base case，也称为基本情况）。而函数调用自身来执行子任务的情况就称作递归情形（recursive case）

形式描述

举例

递归和内存(可视化)

理论

每次递归调用都在内存中生成一个新的函数副本（实际上仅仅是一些相关的变量）。
一旦函数结束（即返回某些数据），该返回函数的副本就从内存中删除。递归方案看起来简单，但是可视化和跟踪递归过程需要花费时间。为了更好地理解归递过程，考虑下面的例子。

在这个例子中，假设当参数n-4时调用print函数，内存分配的可视化过程如下图所示。

递归与迭代

• 递归

  • 当到达基本情形时，递归终止。
  • 每次递归调用都需要额外的空间用于栈帧（内存）开销。
  • 如果出现无穷递归，程序可能会耗尽内存，并出现栈溢出。
  • 某些问题采用递归方法更容易解决。

• 迭代

  • 当循环条件为假时，迭代终止。
  • 每次迭代不需要任何额外的空间开销。
  • 由于没有额外的空间开销，所以若出现死循环，则程序会一直循环执行。
  • 采用迭代求解问题可能没有递归解决方案那样显而易见。

递归说明

• 递归算法有两类情形：递归情形和基本情形。
• 每个递归函数必须终止于基本情形。
  通常，迭代解决方案比递归解决方案更加有效（因为后者有函数调用的开销）。
• 一个递归算法可以通过使用栈代替递归函数的方式来实现，但通常是得不偿失的。
  这意味着任何能用递归求解的问题也能用迭代来求解。
• 对于某些问题，没有明显的迭代求解算法。
• 有些问题非常适合用递归来求解，而有些则不适合。

递归算法的经典用例

• 斐波那契数列、阶乘。归并排序、快速排序。
• 二分查找。
• 树的遍历和许多树问题：中序遍历、前序遍历、后序遍历。
• 图的遍历：深度优先搜索、广度优先搜索。
• 动态规划例子。
• 分治算法。汉诺塔。
• 回溯算法（将在下一节讨论）。

递归相关的问题

问题一：汉诺塔迷题
解析：

汉诺塔是一个数学谜题。

有3根柱子（或木桩、塔）和一些可以在柱子之间来回移动的不同大小的圆盘。

开始时，所有的圆盘按照从小到大的次序自上而下叠放在一根柱子上，形成一个圆锥结构。

现在要求把整叠圆盘移动到另一根柱子上，移动时要遵守下面的规则：

• 每次只能移动一个圆盘。
• 每次移动，只能移动柱子最上面的一个圆盘到另一根柱子（这根柱子上有可能已有圆盘）。
• 任何时候不能出现大圆盘在小圆盘上方的情况。

算法思路：

• 将源柱最上面的n-1个圆盘移到辅助柱。
• 将第n个圆盘从源柱移到目的柱。
• 将辅助柱的n-1个圆盘移到目的柱。
• 源柱最上面的n-1个圆盘移到辅助柱又可以认为是一个新问题，并且可以用同样的方式解决。
• 一旦能解决了只有3个圆盘的汉诺塔问题，那么这个算法可以求解任意数量圆盘的汉诺塔问题。

public static void HRT(int n, char frompeg, char topeg, char auxpeg) {
    if (n == 1) {
        System.out.println("移动：从" + frompeg + "到" + topeg);
        return;
    }
    //利用C做辅助柱将A上n-1个移动到B柱
    HRT(n - 1, frompeg, auxpeg, topeg);
    System.out.println("移动：从" + frompeg + "到" + topeg);
    //利用A做辅助柱将B上n-1个移动到C柱
    HRT(n - 1, auxpeg, topeg, frompeg);
}

问题二：给定一个数组，请用递归方法判定数组中的元素是否是有序的。

public static int isArrayInSortedOrder(int[] a, int index) {
    if (index == 1) {
        return 1;
    }
    return a[index - 1] <= a[index - 2] ? 0 : isArrayInSortedOrder(a,index-1);
}

回溯

什么是回溯

• 回溯是一种采用分治策略进行穷举搜索的方法。
• 有时求解一个问题的最好算法是尝试所有的可能性。这种方法通常很慢，但有标准工具能够辅助该过程。
• ·工具：生成基本对象的算法，例如二进制串（n位二进制串有2"种可能性）、排列
  （n！）、组合（n！/r！（n-r）！），一般字符串（长度为n的k进制串有k"种可能性），等等。
• 通过剪枝回溯可以加速的穷举搜索。

回溯的经典用例

• 二进制串：产生所有的二进制串。
• 生成k进制串。
• 背包问题。广义字符串。
• 哈密顿回路（参见第9章）。
• 图着色问题。

回溯相关问题

• 问题3:生成所有n位长的字符串。假设A[0..n-1]是一个大小为n的数组。

public static void Binary(int n,int[] a) {
    if (n < 1){
        for (int aa:a) {
            System.out.printf(aa+"");
        }
        System.out.println();
    }else {
        a[n-1]=0;
        Binary(n-1,a);
        a[n-1]=1;
        Binary(n-1,a);
    }
}

• 问题4 生成长度为n的所有k进制串，串中每位的取值为0..k-1.

public static void kstring(int n,int k,int[] a){
    if (n < 1) {
        for (int aa : a) {
            System.out.printf(aa+"");
        }
        System.out.println();
    }else{
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            a[n-1] = i;
            kstring(n-1,k,a);
        }
    }
}