一般是由长度小的子问题推到长度大的子问题，解法一般比较固定，先枚举长度再枚举左端点 最后枚举中间的分割点
通过小区间的情况扩展到大区间
1、合并石子1
线性的，合并相邻的，通过计算前缀和减少了计算量，但也是O(N^3)
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) {
cin>>a[i];
s[i]=s[i-1]+a[i];
}
memset(f,127/3,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=0; //赋一个极大的值但是相加不会溢出
for(int i=n-1;i>=1;i--){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
for(int k=i;k<=j-1;k++){
if(f[i][j]>f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[i-1]) //把i--k和k+1--j这两堆合并起来，原本的得分加上现在的新增的得分
f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[i-1];
}
}
}
cout<<f[1][n]<<endl;
2、合并石子2
题解：https://www.luogu.com.cn/problem/P1880
在一个圆形操场的四周摆放 NN 堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。
试设计出一个算法,计算出将 NN 堆石子合并成 11 堆的最小得分和最大得分。
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
using namespace std;
const int maxn=1010;
const int INF=0x3fffffff;
//区间DP
//把环形化成线性
//合并石子这道题：很典型的区间dp，通过求解子区间，然后按照合并为大区间
int w[221],dp1[220][220]; //存储区间i--j
int a[220];
int n;
int dp2[220][220];
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
a[i+n]=a[i];
w[i]=w[i-1]+a[i]; //前缀和减少计算
}
for(int i=n+1;i<=2*n;i++) w[i]=w[i-1]+a[i];
for(int len=1;len<n;len++){
for(int i=1,j=i+len;i<(n*2)&&j<(2*n);i++,j=i+len){
dp1[i][j]=INF;
dp2[i][j]=-1;
for(int k=i;k<j;k++){ //中间元素
dp1[i][j]=min(dp1[i][j],dp1[i][k]+dp1[k+1][j]+w[j]-w[i]+a[i]);
dp2[i][j]=max(dp2[i][j],dp2[i][k]+dp2[k+1][j]+w[j]-w[i]+a[i]);
}
}
}
int maxx=-1,minn=INF;
for(int i=1;i<=n;i++){
maxx=max(maxx,dp2[i][i+n-1]);
minn=min(minn,dp1[i][i+n-1]);
}
cout<<minn<<endl<<maxx<<endl;
return 0;
}
通过四边形不等式进行优化，时间复杂度下降至O(N^2），因为保存上一次的最佳分割点，证明自己找资料再看看：
for(int k=rel[i][j-1];k<=rel[i+1][j];k++)
以合并石子2为例
//经过四边形不等式优化的合并石子
int rel[maxn][maxn];
int dp[maxn][maxn];
int summ[maxn];
int a[maxn];
int n;
int main(){
cin>>n;
memset(summ,0,sizeof(summ));
memset(dp,0x3f,sizeof(dp)); //别忘了初始化
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
dp[i][i]=0;
rel[i][i]=i;
summ[i]=summ[i-1]+a[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
summ[i+n]=summ[i+n-1]+a[i];
dp[i+n][i+n]=0;
rel[i+n][i+n]=i+n;
}
for(int len=1;len<=n;len++){
for(int i=1;i<=2*n-len;i++){
int j=i+len-1;
for(int k=rel[i][j-1];k<=rel[i+1][j];k++){
if(dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+1][j]+summ[j]-summ[i-1]) {
dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+summ[j]-summ[i-1];
rel[i][j]=k;
}
}
}
}
int ans= 0xfffffff;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=min(ans,dp[i][i+n-1]);
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
1570：【例 2】能量项链
这个其实就是矩阵相乘，一样的转移表达式
注意要拆分乘2*N，而且这个的循环一二维循环的是区间左右下标，注意转移表达式
dp[j][i]=max(dp[j][i],dp[j][k]+dp[k+1][i]+a[j]*a[k+1]*a[i+1]);
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
using namespace std;
const int maxn=1010;
const int INF=0x3fffffff;
typedef long long LL;
//能量项链
//矩阵相乘提高版，或者题目也可以说成是抽卡片，抽卡片更好理解
//f[i][j]=min(f[i][k]+f[k][j]+a[i]?a[k]?a[j],f[i][j])
int n;
LL a[220];
LL dp[220][220];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld",&a[i]);
dp[i][i]=0;
a[i+n]=a[i];
}
LL ans=-1;
for(int i=2;i<n*2;i++){ //整个区间都需要更新
for(int j=i-1;i-j<n&&j>=1;j--){ //从后往前推
for(int k=j;k<i;k++){
dp[j][i]=max(dp[j][i],dp[j][k]+dp[k+1][i]+a[j]*a[k+1]*a[i+1]);
// dp[j][i]=max(dp[j][i],dp[j][k]+dp[k+1][i]+a[j-1]*a[k]*a[i]);
}
ans=max(ans,dp[j][i]);
}
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
1571：【例 3】凸多边形的划分
和上一道题的转移式比较像，但是这道题数据大， 要写高精度
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]+a[i]*a[j]*a[k]);
看了另一个题解，发现不用写高精度(36条消息) 1571 例题3 凸多边形的划分(LOJ10149) 区间动规思想40分 区间动归 dp 两定点一动点50分 int128使用100分 uint128使用100分_mrcrack的博客-CSDN博客
uint128使用
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
using namespace std;
const int maxn=1010;
const int INF=0x3fffffff;
typedef long long LL;
// dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]+a[i]*a[j]*a[k]);
//但是需要写高精度
/*
int n;
LL a[51];
LL dp[51][51];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld",&a[i]);
}
LL ans=INF;
for(int len=1;len<=n;len++){
for(int i=1;i<=n-len+1;i++){
dp[i][i+len]=INF;
dp[i][i+1]=0; //不能形成
int j=i+len-1;
for(int k=i;k<=i+len-1;k++){
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]+a[i]*a[j]*a[k]);
}
if(len==n) ans=min(ans,dp[i][i+n-1]);
}
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
*/
inline void qread(int &x){
x=0;
int ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
}
struct bignum{
int num[48];
void sset(int x){
memset(num,0,sizeof(num));
while(x){
num[++num[0]]=x%10;
x/=10;
}
}
void clea(){
memset(num,0,sizeof(num));
}
void INf(){
num[0]=30;
for(int i=1;i<=num[0];i++) num[i]=9;
}
};
bignum minn(const bignum &a,const bignum &b){
if(a.num[0]>b.num[0]) return b;
if(a.num[0]<b.num[0]) return a;
for(int i=a.num[0];i>=1;i--) {
if(a.num[i]>b.num[i]) return b;
if(a.num[i]<b.num[i]) return a;
}
return a;
}
bignum add(const bignum &a,const bignum &b){
bignum c;
c.clea();
c.num[0]=max(a.num[0],b.num[0]);
int jw=0;
for(int i=1;i<=c.num[0];i++){
c.num[i]=a.num[i]+b.num[i]+jw;
jw=c.num[i]/10;
c.num[i]%=10;
}
if(jw) c.num[++c.num[0]]=jw;
return c;
}
bignum mul(bignum a,bignum b){
bignum c;
c.clea();
c.num[0]=a.num[0]+b.num[0]; //相乘
for(int i=1;i<=a.num[0];i++){
int jw=0;
for(int j=1;j<=b.num[0];j++){
c.num[i+j-1]+=a.num[i]*b.num[j]+jw;
jw=c.num[i+j-1]/10;
c.num[i+j-1]%=10;
}
c.num[i+b.num[0]]=jw;
}
while(c.num[c.num[0]]==0) --c.num[0];
if(!c.num[0]) c.num[0]=1;
return c;
}
void show(const bignum &a){
for(int i=a.num[0];i>=1;i--) putchar(a.num[i]+48);
}
int n;
bignum data[120];
bignum dp[120][120];
int main(){
qread(n);
int x;
for(int i=1;i<=n;i++){
qread(x);
data[i].sset(x);
data[i+n]=data[i];
}
data[n<<1|1]=data[1];
for(int len=2;len<n;len++){ //格式
for(int i=1;i<=(n<<1)-len;i++){
int j=i+len;
dp[i][j].INf();
for(int k=i+1;k<j;k++)
dp[i][j]=minn(dp[i][j],add(dp[i][k],add(dp[k][j],mul(data[i],mul(data[k],data[j])))));
}
}
bignum ans;
ans.INf();
for(int i=1;i<=n;i++) ans=minn(ans,dp[i][i+n-1]); //最后取值
show(ans);
cout<<endl;
return 0;
}
#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 110
#define INF 1e30
using namespace std;
__uint128_t a[maxn],dp[maxn][maxn],mx;
inline __uint128_t read(){
__uint128_t x=0;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){//去除其他无用符号
ch=getchar();
}
while('0'<=ch&&ch<='9'){//读取数字
x=x*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
return x;
}
inline void print(__uint128_t x){
if(x){//请注意此处是if不是while
print(x/10);//自高位到低位输出，采用递归形式
putchar(x%10+'0');//以字符形式打印
}
}
int main(){
int n,lt,rt,k,len,i,j;
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),a[i+n]=a[i];
for(i=1;i<=2*n;i++)
for(j=i+2;j<=2*n;j++)
dp[i][j]=INF;
for(len=2;len<n;len++)
for(lt=1;lt<=2*n;lt++){//三角形，三个顶点
rt=lt+len;//lt,rt是定点
if(rt>2*n)break;
for(k=1;k<len;k++){//lt+k是动点,注意k取值从1开始
dp[lt][rt]=min(dp[lt][rt],dp[lt][lt+k]+dp[lt+k][rt]+a[lt]*a[lt+k]*a[rt]);
}
}
mx=INF;
for(i=1;i<=n;i++)mx=min(mx,dp[i][i+n-1]);
print(mx);
return 0;
}
1572：括号配对
求最少增加多少个符号？
其实可以求能够匹配的有多少，然后总长度减去匹配的，一样的枚举长度len,i起始点，j终止点，k中间点
如果s[i]、s[j]匹配那么就是,f[i][j]=max(f[i+1][j-1]+2,f[i][j])
否则就是f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j])
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1010;
const int INF=0x3fffffff;
typedef long long LL;
int dp[105][105];
int main(){
char s[110];
scanf("%s",s+1);
int len=strlen(s+1);
for(int l=1;l<=len;l++){
for(int i=1;i<=len-l+1;i++){
int j=i+l-1;
if((s[i]=='('&&s[j]==')')||(s[i]=='['&&s[j]==']'))
dp[i][j]=max(dp[i+1][j-1]+2,dp[i][j]);
for(int k=i;k<j;k++){
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);
}
}
}
cout<<len-dp[1][len];
return 0;
}
1573：分离与合体
表达转移式变化了，因为题目的要求，但是做法还是一样，而且这道题还需要输出对策，
合并时获得的价值就是 (1 号金钥匙价值 <span class="MJX_Assistive_MathML">+3 号金钥匙价值)×( <span class="MathJax_Preview"><span id="MathJax-Element-18-Frame" class="MathJax" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn></math>"><span id="MathJax-Span-71" class="math"><span class="MJX_Assistive_MathML">2 号金钥匙价值))。
LYD 请你编程求出最终可以获得的最大总价值，并按照分离阶段从前到后，区域从左到右的顺序，输出发生分离区域编号。若有多种方案，选择分离区域尽量靠左的方案（也可以理解为输出字典序最小的）。
例如先打印一分为二的区域，然后从左到右打印二分为四的分离区域，然后是四分为八的……
/*
大意就是选取区间一点区间划分为左右部分，合并时得分为划分前（左端点+右端点） * 选取点的权值。
我们还是按照老办法，用跨度来 DP 就可以得到最大得分。
关于路径输出，因为本题中区间划分是同时进行的，就是说如果存在多段区间都可划分，那么它们是可以同时划分的，而题意又要求按照划分的先后和区域的左右输出，
也就是说要先判断该节点是属于第几次划分的，由于我们 path 数组存放了区间的划分点，那么我们不断递归，递归树第 k 层就对应着第 k 次划分，而左右顺序取决于我们的递归顺序；
因此我们可以通过传入变量 step 代表当前递归树的层数，num 代表当前要输出的是第几步划分出的区域，当 step = num 就说明满足条件。
*/
所以这个DFS（pint函数比较重要）
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
using namespace std;
const int maxn=303;
const int INF=0x3fffffff;
typedef long long LL;
//重点是理解题意
/*
大意就是选取区间一点区间划分为左右部分，合并时得分为划分前（左端点+右端点） * 选取点的权值。
我们还是按照老办法，用跨度来 DP 就可以得到最大得分。
关于路径输出，因为本题中区间划分是同时进行的，就是说如果存在多段区间都可划分，那么它们是可以同时划分的，而题意又要求按照划分的先后和区域的左右输出，
也就是说要先判断该节点是属于第几次划分的，由于我们 path 数组存放了区间的划分点，那么我们不断递归，递归树第 k 层就对应着第 k 次划分，而左右顺序取决于我们的递归顺序；
因此我们可以通过传入变量 step 代表当前递归树的层数，num 代表当前要输出的是第几步划分出的区域，当 step = num 就说明满足条件。
*/
int n;
LL a[maxn],dp[maxn][maxn];
int path[maxn][maxn];
void prin(int i,int j,int step,int num){ //step 代表当前递归树的层数，num 代表当前要输出的是第几步划分出的区域
//num从1增加到n表示，从一分为二，二分为四这个顺序
//step就是一直都是1，（调用时）
if(i>=j) return;
if(step==num) cout<<path[i][j]<<" ";
prin(i,path[i][j],step+1,num);
prin(path[i][j]+1,j,step+1,num);
}
void solve(){
for(int len=1;len<n;len++){ //这里还是模板
for(int i=1;i<=n-len;i++){
int j=i+len;
for(int k=i;k<j;k++){
if(dp[i][j]<dp[i][k]+dp[k+1][j]+(a[i]+a[j])*a[k]){
dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+(a[i]+a[j])*a[k]; //k是分割点
path[i][j]=k;
}
}
}
}
LL mx=dp[1][n];
cout<<mx<<endl;
for(int i=1;i<=n;i++) prin(1,n,1,i);
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
}
solve();
return 0;
}
1574：矩阵取数游戏
每一行是不会互相影响的
所以只需要对每一行算出最优，然后相加就可以了
记得要用高精，
用M表示输入的矩阵的一行，M[i]表示该行第i个值
dp[i][j]表示区间变为[i,j]时的最优解
状态转移方程为：dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+M[i-1]* 2^{m-j+i-1} ，dp[i][j+1]+M[j+1]*2^{m-j+i-1})
从两边向中间靠拢
终态是区间为空,dp[i][i]+M[i]*2^m（从1~n遍历，取最大）
！！！这道题也需要写高精度，这个真的需要练习
//怎么连最简单的一点都没想到呢，每一行是不会互相影响的
//所以只需要对每一行算出最优，然后相加就可以了
//记得要用高精，
//用M表示输入的矩阵的一行，M[i]表示该行第i个值
//dp[i][j]表示区间变为[i,j]时的最优解
//状态转移方程为：dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+M[i-1]* 2^{m-j+i-1} ，dp[i][j+1]+M[j+1]*2^{m-j+i-1})
//从两边向中间靠拢
//终态是区间为空,dp[i][i]+M[i]*2^m
/*
int n,m,a[maxn];
LL f[maxn][maxn]; //f[i][j]之间的最优值
void prin(LL x){
if(x>9) prin(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
LL solve(){
memset(f,0,sizeof(f));
for(int i=1;i<=m;i++){ //从两边开始
for(int j=m;j>=i;j--){
LL b=(LL)1<<(m-j+i-1);
f[i][j]=max(f[i-1][j]+(LL)a[i-1]*b,f[i][j+1]+(LL)a[j+1]*b);
}
}
LL mx=-1;
//最后一步
for(int i=1;i<=m;i++) mx=max(mx,f[i][i]+(LL)a[i]*((LL)1<<m)); //取最大
return mx;
}
int main(){
scanf("%d %d",&n,&m);
LL ans=0;
while(n--){
for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&a[i]);
ans+=solve();
}
prin(ans);
return 0;
}
*/
//老老实实写高精度TAT 4个点过不了
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=85;
const int L=105,Power=4,Base=10000;
int n,m,a[N];
struct Bignum
{
int a[L];
Bignum(){memset(a,0,sizeof a);}
Bignum(int x)
{
memset(a,0,sizeof a);
while(x) {a[++*a]=x%10; x/=10;}
return;
}
inline void Print()
{
int i;
printf("%d",a[*a]);
for(i=*a-1;i>=1;i--)
{
if(a[i]<1000) putchar('0');
if(a[i]<100) putchar('0');
if(a[i]<10) putchar('0');
printf("%d",a[i]);
}
puts("");
return;
}
inline void Init()
{
memset(a,0,sizeof a);
}
}Bin[N],dp[N][N];
inline bool operator<(const Bignum &p,const Bignum &q)
{
if(p.a[0]!=q.a[0]) return (p.a[0]<q.a[0])?1:0;
int i;
for(i=p.a[0];i>=1;i--) if(p.a[i]!=q.a[i])
{
return (p.a[i]<q.a[i])?1:0;
}
return 0;
}
inline Bignum max(Bignum p,Bignum q)
{
return (p<q)?(q):(p);
}
inline Bignum operator+(const Bignum &p,const Bignum &q)
{
int i;
Bignum ans=p;
for(i=1;i<=q.a[0];i++)
{
ans.a[i]+=q.a[i];
if(ans.a[i]>=Base){ans.a[i+1]+=ans.a[i]/Base; ans.a[i]%=Base;}
}
while(ans.a[ans.a[0]+1]) ans.a[0]++;
return ans;
}
inline Bignum operator*(const Bignum &p,const Bignum &q)
{
int i,j;
Bignum ans;
ans.a[0]=p.a[0]+q.a[0];
for(i=1;i<=p.a[0];i++)
{
for(j=1;j<=q.a[0];j++)
{
ans.a[i+j-1]+=p.a[i]*q.a[j];
if(ans.a[i+j-1]>Base)
{
ans.a[i+j]+=ans.a[i+j-1]/Base;
ans.a[i+j-1]%=Base;
}
}
}
while(!ans.a[ans.a[0]]) ans.a[0]--;
return ans;
}
inline Bignum operator*(const Bignum &p,const int &q)
{
int i;
Bignum ans;
ans.a[0]=p.a[0]+5;
for(i=1;i<=p.a[0];i++)
{
ans.a[i]+=p.a[i]*q;
if(ans.a[i]>Base)
{
ans.a[i+1]+=ans.a[i]/Base; ans.a[i]%=Base;
}
}
while(!ans.a[ans.a[0]]) ans.a[0]--;
return ans;
}
inline Bignum Solve()
{
int i,j;
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j+i-1<=m;j++)
{
int l=j,r=j+i-1;
dp[l][r]=max(dp[l][r-1]+Bin[m-i+1]*a[r],dp[l+1][r]+Bin[m-i+1]*a[l]);
}
}
// dp[1][m].Print();
return dp[1][m];
}
int main()
{
int i,j;
Bignum ans;
scanf("%d%d",&n,&m);
Bin[0]=Bignum(1);
for(i=1;i<=m;i++) Bin[i]=Bin[i-1]*2;
// for(i=1;i<=m;i++)
// {
// Bin[i].Print();
// }
// puts("");
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[j]);
ans=ans+Solve();
}
ans.Print();
return 0;
}
凸包的路径
这道题将环形的信息转化为了长度为2倍的链，就变成了线性的问题
而且这道题。。。我觉得我不是很懂
CF838E Convex Countour
按顺时针给出一个凸多边形，任意两点间有一条直线边，求每个点恰好一次的最长不自交（和之前线段相交）路径
题解：https://www.luogu.com.cn/problemnew/solution/CF838E
//https://www.luogu.com.cn/problemnew/solution/CF838E
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=2510;
struct Point {
double x, y;
Point(int x=0, int y=0):x(x), y(y){}
} p[N];
double dis(Point a, Point b) {
return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
double f[N][N][2];
int n;
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i=0; i<n; i++) {
int x, y; scanf("%d%d", &x, &y);
p[i]=Point(x, y);
}
for (int len=2; len<=n; len++)
for (int l=0; l<n; l++) {
int r=(l+len-1)%n;
f[l][r][0]=max(f[(l+1)%n][r][0]+dis(p[l], p[(l+1)%n]), f[(l+1)%n][r][1]+dis(p[l], p[r]));
f[l][r][1]=max(f[l][(r-1+n)%n][0]+dis(p[r], p[l]), f[l][(r-1+n)%n][1]+dis(p[r], p[(r-1+n)%n]));
}
double ans=0;
for (int i=0; i<n; i++) ans=max(ans, max(f[i][(i+n-1)%n][0], f[i][(i+n-1)%n][1]));
printf("%.10lf", ans);
return 0;
}
4、矩阵相乘提高版，或者题目也可以说成是抽卡片，抽卡片更好理解
给出n个数字，不能删除两边，删除i的代价是a[i-1]*a[i]*a[i+1]
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
using namespace std;
const int maxn=1010;
const int INF=0x3fffffff;
long long a[110],dp[110][110];
//区间dp
//dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i-1][k][k+1]
int n;
int main(){
cin>>n;
int x;
for(int i=0;i<=n;i++){
cin>>a[i];
dp[i][i]=0;
if(i!=0&&i!=n) cin>>x; //根据转移表达式，有一个不用输入
}
for(int len=2;len<=n;len++){
for(int i=1;i<=n-len+1;i++){
int j=i+len-1;
long long temp=dp[i+1][j]+a[i-1]*a[i]*a[j];
for(int k=i+1;k<j;k++){
long long t=dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i-1]*a[k]*a[j];
temp=min(temp,t);
}
dp[i][j]=temp;
}
}
cout<<dp[1][n]<<endl;
return 0;
}
5、添加括号
【题目背景】
给定一个正整数序列a1，a2，...，an,(1<=n<=20)
不改变序列中每个元素在序列中的位置，把它们相加，并用括号记每次加法所得的和，称为中间和。
例如:
给出序列是4，1，2，3。
第一种添括号方法:
((4+1)+(2+3))=((5)+(5))=(10)
有三个中间和是5，5，10，它们之和为:5+5+10=20
第二种添括号方法
(4+((1+2)+3))=(4+((3)+3))=(4+(6))=(10)
中间和是3，6，10，它们之和为19。
【问题描述】
现在要添上n-1对括号，加法运算依括号顺序进行，得到n-1个中间和，求出使中间和之和最小的添括号方法。
const int maxn=1010;
const int INF=0x3fffffff;
//区间dp：但是涉及三个问题
//第一个：找到最优值，这个就是转台转移表达式
//首先是dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]) dp[i][j]+=sum(i,j)
//然后是输出括号：记录每个数字前面有多少个左括号，后面有多少个右括号
//最后是输出中间值
//后面两个问题都是通过DFS来解决，当然是在第一个问题通过DP解决了，并且记录了最优值得基础上
int a[21],summ[21][21]; //注意理解这个summ数组，是一个斜三角形，summ[i][j]就代表了从i到j得和，因为第i行就是从第i-1开始的
int dp[21][21]; //最小值
int be[21],af[21]; // 记录每个数字前面有多少个左括号，后面有多少个右括号
int n;
int res[21][21];
void dfs(int l,int r){
if(l==r) return ;
dfs(l,l+res[l][r]); //递归
dfs(l+res[l][r]+1,r);
be[l]++;
af[r]++ ;
}
void dfs2(int l,int r){
if(l==r) return;
dfs2(l,l+res[l][r]);
dfs2(l+res[l][r]+1,r);
cout<<summ[l][r]<<" "; //最后输出
}
int main(){
cin>>n;
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>a[i];
dp[i][i]=0;
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i;j<=n;j++) summ[i][j]=summ[i][j-1]+a[j]; //初始summ数组
}
for(int len=1;len<n;len++){
for(int i=1;i<=n-len;i++){
int j=i+len;
for(int step=0;step<len;step++){ //记录
if(dp[i][j]>dp[i][i+step]+dp[i+step+1][j]){
dp[i][j]=dp[i][i+step]+dp[i+step+1][j];
res[i][j]=step; //i和j之间的括号在那个位置
}
}
dp[i][j]+=summ[i][j] ;// 还要加上和
}
}
dfs(1,n);
//记录左右括号
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=be[i];j++) cout<<"("; //前面有多少个左括号
cout<<a[i];
for(int j=1;j<=af[i];j++) cout<<")";
if(i!=n) cout<<"+";
}
cout<<endl<<dp[1][n]<<endl;
dfs2(1,n);
return 0;
}
6、最长括号匹配 Poj2955 括号匹配（一）
dp[i][j]表示i~j个字符间的最长匹配
if(a[i]==a[j]) dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2
dp[i][j]=max{dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]}
int dp[105][105];
int main()
{
char s[105];
while(scanf("%s",s+1)!=EOF)
{
memset(dp,0,sizeof(dp));//dp初始化为0，因为一方面是找最大之，一方面初始匹配数为0
int len = strlen(s+1);//dp[i][i]不用处理，因为自己和自己不匹配就是0
if(s[1]=='e')break;
for(int l = 1;l<=len;l++){
for(int i = 1;i+l<=len+1;i++){
int j= i+l-1;
if((s[i]=='('&&s[j]==')')||(s[i]=='['&&s[j]==']')){//如果匹配，先更新
dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2;
}
for(int k = i;k<j;k++){//k<j
dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);
}
}
}
cout<<dp[1][len]<<endl;
}
return 0;
}
7、hdu 4632 Palindrome subsequence
最多回文子串，要求不连续，位置不同就可以了
先全部都处理：dp[i][j]=dp[i+1][j]+dp[i][j-1]-dp[i+1][j-1] 这个操作是并上，有容斥原理可以得到，而且这个是一个固定的状态，注意要取模，所以要先加模，再取模
如果s[i]==s[j]的话，那么就可以分为dp[i][j]=dp[i][j]+dp[i+1][j-1]+1，
//最多回文子串
//先全部都处理：dp[i][j]=dp[i+1][j]+dp[i][j-1]-dp[i+1][j-1]
//如果s[i]==s[j]的话，那么就可以分为dp[i][j]=dp[i][j]+dp[i+1][j-1]+1
char a[maxn];
int n;
int dp[maxn][maxn];
int main(){
scanf("%d",&n);
int index=1;
while(n--){
scanf("%s",a+1);
int nn=strlen(a+1);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=nn;i++) dp[i][i]=0;
for(int len=1;len<=nn;len++){
for(int i=1;i<=nn-len+1;i++){
int j=i+len-1;
dp[i][j]=(dp[i+1][j]+dp[i][j-1]-dp[i+1][j-1]+10007)%10007;
if(a[i]==a[j]) dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i+1][j-1]+1)%10007;
}
}
printf("Case %d: %d\n",index++,dp[1][nn]);
}
return 0;
}
8、整数划分
给出两个整数 n , m ,要求在 n 中加入m - 1 个乘号，将n分成m段，求出这m段的最大乘积
这里给的乘号是有限个，所以状态方程里必须包含使用乘号的个数，此外还要包含区间长度。所以怎么用二维dp实现包含m和n，我们可以用dp[i][j]表示在第1~i个字符里插入j个乘号的最大值。
状态转移方程 dp[i][j]表示在第1i个字符里插入j个乘号的最大值；用num[i][j]表示第ij个字符表示的数字；
dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[k][j-1]*num[k+1][i])
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