一本通的题
一、昆虫繁殖
#include<iostream>
using namespace std;
//昆虫繁殖
int main(){
long long a[101]={0},b[101]={0},i,j,x,y,z;
cin>>x>>y>>z;
for(i=1;i<=x;i++) {a[i]=1;b[i]=0; //成虫和幼虫
}
for(i=x+1;i<=z+1;i++){ //注意下标，从x+1开始到第z+1个月
b[i]=y*a[i-x];//b[i]表示这个月的幼虫
a[i]=a[i-1]+b[i-2]; //表示成虫
}
cout<<a[z+1]<<endl;
return 0;
}
二、位数问题
n位数中，有偶数个3的个数
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,a[1001][2];
//这道题的思想，用递推，从上一位数的结果退出这一位的结果
//
int f=9;
int main(){
cin>>n;
a[1][0]=9;//0也是偶数！！
a[1][1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(i==n) f=8; //最后一位的取值再1-2， 4-9之间
a[i][0]=(a[i-1][0]*f+a[i-1][1])%12345; //注意f的位置 //偶数个
a[i][1]=(a[i-1][1]*f+a[i-1][0])%12345; //奇数个
}
cout<<a[n][0]<<endl;
return 0;
}
三、经典的放苹果问题
把n个同样的苹果放在m个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，有多少种方法？-------分为有无空盘
（1）边界条件：n=0或者m=1 一种方法
（2）没有空盘，那么先给每个盘子分配一个，所以有a[n-m][m]种，有一个空盘，有a[n][m-1]种
（3）ps.如果n<m 那个结果为a[n][n]
for(int n=0;n<=10;n++){//苹果
for(int m=0;m<=10;m++){//盘子
if(n==0||m==1) a[n][m]=1; //只有一个盘子或者0个苹果都是一种情况
else if(n>=m) a[n][m]=a[n][m-1]+a[n-m][m]; //分为有无空盘
else a[n][m]=a[n][n];
}
}
数的划分（其实就是n=m的放苹果问题）
可以递推，也可以动态规划，是十分经典的题
1、递推
用f[n][m]表示在值为n的情况，最大划分为m的值（每个盘子都放一个），根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
(1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};
(2) 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,…,1};
(3) 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
(a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
(b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。 因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
(4) 当n< m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);
(5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
(a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这种情况下为f(n-m,m)
(b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
综上所述：
f(n,m)=1; (n=1 or m=1)
f(n,m)=f(n, n); (n<m)
f(n,m)=1+ f(n, m-1); (n=m)
f(n,m)=f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)
二、动态规划
状态转移方程：
当 n == 1 || k == 1 时，f(n, k) == 1， n为1，那么只能为1； 而k为1，那么只能划分成n个1.
当 n < k 时，f(n, k) == f(n, n)，因为n的划分中不可能出现比n大的数，所以可以将最大值从k降到n；
当 n >= k 时，f(n, k) = f(n-k, k) + f(n, k-1)， 前半部分是划分中存在最大值k，所以可以在(n-k)中继续以最大值为k来划分，而后半部分则是划分中最大值不是k，那么其结果和以(k-1)为最大值的划分是一样的。在初始化中可以将f(0, k)初始化为1，及对应f(n, n)可能出现的情况。
综合来说，使用递归更加容易理解，不过使用动态规划时间消耗更小。
#include<iostream>
using namespace std;
long long d[125][125];
void dp()
{
for(int i=1;i<=120;i++)
d[i][1]=d[1][i]=d[0][i]=1;
for(int i=2;i<=120;i++)
for(int j=2;j<=120;j++)
{
if(i<j)
d[i][j]=d[i][i];
else
d[i][j]=d[i-j][j]+d[i][j-1];
}
}
int main()
{
int n;
dp();
while(cin>>n)
cout<<d[n][n]<<endl;
return 0;
}
四、 判断整除
将前n-1个数看成一个整体序列，则n个数可能产生的结果就等于“前n-1个数产生的所有结果分别加上第n个数或分别减去第n个数”
n-2也同理……直到1为止。
由于是判断有无结果能被k整除，所以所有的中间结果都可以取余k，从而使所有可能的结果保持在一个不大的范围，用数组进行存储。
下面代码中的ans[i][j]表示i个数的序列有没有取余k后为j的结果，0表示没有，1表示有。
这道题不如过说是逻辑和取余运算的例题了。。。。
//判断整除
//哎
int a[10001][101]; //记录计算结果和过程的
int n,k;
int b[10001];//记录数组的
int main(){
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>b[i];
b[i]%=k; //这一步！！！
}
//初始化
memset(a,0,sizeof(a));
a[1][b[1]]=1;
a[1][-b[1]+k]=1;
for(int i=1;i<n;i++){ //小于n，因为最后会算到n
for(int j=0;j<k;j++){
if(a[i][j]){
a[i+1][(j+b[i+1])%k]=1; //注意这里都是a[i+1] 还有 b[i+1]
a[i+1][(j+(-b[i+1]+k))%k]=1;
}
}
}
if(a[n][0]==1) cout<<"YES"<<endl;
else cout<<"NO"<<endl;
五、山区建小学
cin>>n>>m;
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=1;i<n;i++){ //注意次数是输入n-1个数
cin>>dis[i][i+1];
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
dis[i][j]=dis[j-1][j]+dis[i][j-1]; //
dis[j][i]=dis[i][j];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
int mid=(i+j)/2;
a[i][j]=0;
for(int k=i;k<=j;k++) a[i][j]+=dis[k][mid]; //在两地间建小学最近，然后用a[i][j]存储在i和j中间建小学的最短距离
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][1]=a[1][i];
//注意理解这段话的意思，前i个村庄建1个学校和在1和村庄i中间建一个是等价的
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=2;j<=m;j++){ //注意j从多少开始
dp[i][j]=0xf7fffffff;
for(int k=j-1;k<=i;k++){ //a[][]数组其实用了贪心的思想
//再前k个村庄里面建j-1个学校，再k+1--i之间再建一所学校，建在“中间”
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+a[k+1][i]); //k在枚举i与j之间的村庄
}
}
}
cout<<dp[n][m]<<endl;
六、流感传染，这道题需要用两个数组，保存，一个保存今天的，昨天的，因为今天被感染的只能从明天开始感染别人
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++) {
cin>>a[i][j];
aa[i][j]=a[i][j];
}
int m;cin>>m;
for(int day=1;day<=m;day++){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++)
if(a[i][j]=='@') bf(i,j);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=aa[i][j]; //注意这里的赋值顺寻
P2696 慈善的约瑟夫
实在是看不懂递推。。。用模拟做的
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
//新约瑟夫问题，真的看不懂递推，只懂模拟、、、
int a[100005];
int num,f,n,s,x;
int main(){
cin>>n;
while(1){ //一直算到最后的胜利者就是编号最大的
num=n;
x=f=0;
memset(a,0,sizeof(a)); //表示有没有出队
while(num!=1){
x++;
if(x>n) x-=n;
if(a[x]!=0) continue;
f++;
if(f==2){ //交替出队
f=0;
a[x]=1;//出队了
num--;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(a[i]==0){
if(i==n){
cout<<s+2*i<<endl;
return 0;
}
//如果不是的话，就处理这一轮的结果，把编号大于胜利者的 都踢出去
s=s+n-i; //出队的给一块
n=i; //剩下的人就只剩i个
break;
}
}
}
return 0;
}
【典型的递推关系】
1、Fibonacci数列
2、汉诺塔问题： hn=2*h(n-1)+1
3、平面分割问题：设有n条封闭曲线画在平面上，任何两条封闭曲线恰好交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问把平面分隔成多少个
h(n)-h(n-1)=2*(n-1)
4、catalan数：凸多边形的对角三角形剖分的个数 ：组合数学
5、第二类stirling数：n个有区别的球放到m个没区别的盒子里，求放法
考虑第n个球：单独放一个盒子：S(n-1,m-1)
与别的球共占一个盒子：m*S(n-1,m)
所以方法是S(n,m)=S(n-1,m-1)+m*S(n-1,m) n>1,m>=1 边界条件为S(n,0)=0 S(n,1)=1 S(n,n)=1 S(n,k) =0(k>n)
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