满二叉树的循环递归

一、二叉树常用性质

1. 在二叉树的第n层上最多有2 ^n-1个节点 。（n>=1） 2. 二叉树中如果深度为d(有k层),那么最多有2^d-1个节点。(d>=1） 3. 二叉树按照从上到下从左到右依次编号，则若某节点编号为k，则其左右子树根节点编号分别为2k和2k+1; 4. 二叉树分类：满二叉树，完全二叉树

• 满二叉树：高度为h，由2^h-1个节点构成，除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。节点数达到最大值。所有叶子结点必须在同一层上。

• 完全二叉树：
  若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

           1                                1
        /     \                          /      \
      2        3                        2         3
   /    \    /    \                  /     \        \
   4    5    6                     4         5         6
    完全二叉树                            不完全二叉树
  

在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log₂n]+1，其中[log₂n]+1是向下取整。满二叉树的深度为d=log₂(n+1);

二、二叉树的循环递归规律法

2.1 例题：
有一颗满二叉树，每个节点是一个开关，初始全是关闭的，小球从顶点落下，
小球每次经过开关就会把它的状态置反，这个开关为关时，小球左跑，为开时右跑。现在问第k个球下落到d层时的开关编号。输入深度d和小球个数k

思路分析：首先该题最先想到的是模拟，开一个数组表示开关，下标表示编号，根据k的子树为2k和2k+1来改变数组，判断进行。但是这样太麻烦了。而且根据深度和小球个数，导致计算量太大。
寻找规律:

1. 可以知道每一层，第奇数个落入该层的球都是往左，第偶数个落入该层的球都是往右。
2. 小球按照编号依次下落的，对于左枝（也就是奇数球)k%2==1，第k号小球落入该层时，是落入该位置的第k/2 +1个小球。而偶数个k%2==0是往右走的k/2个小球
3. 对于下一层左枝总计落入k/2 + k%2个球，下一层右枝总计落入k/2个小球
4. 所以采取每一次一个循环，来判断k%2小球往哪儿走，循环d层，即可找出最后叶子！省去大数组和大时间
   

2.2 go实现

func FindPos(num, floor int) int {

	// 表示进入第 floor 层，的X位置第n个球，初始化为第一层，第一个位置的第 num 个球
	var floorBallPos, pos int = num, 1
        // 从第一层开始计算
	for i := 1; i < floor; i++ {
		if floorBallPos % 2 == 1 {
			// 奇数个球，全部在左边
			floorBallPos = floorBallPos/2 + 1
			// 此时的位置为
			pos *= 2
		}else {
			// 偶数个球，全部在右边
			floorBallPos = floorBallPos/2
			// 此时的位置为
			pos = pos * 2 + 1
		}
	}
	return pos
}