单变量微分、导数与链式法则

映射是一种对应关系。

函数是一种映射,将变量间的关系形式化为数学描述。

\(y = f(x)\),即\(y\)\(x\)的函数,可以是\(y = 2x + 1\),也可以是\(y = sin(x)\)\(x\)的变化将引起\(y\)的变化,\(x\)的变化量\(\triangle x\)导致\(y\)变化\(\triangle y\),当变化量很小(趋近于0)时,为瞬间变化量,记为\(dx\)\(dy\),瞬间变化量之比为瞬间变化率,即\(\frac{dy}{dx}\)。瞬间变化率\(\frac{dy}{dx}\)乘以\(x\)的瞬间变化量\(dx\)\(y\)的瞬间变化量\(dy\)

导数(Derivative),是对瞬间变化率的衡量,即\(\frac{dy}{dx}\)导数也是函数,衡量每个\(x\)位置处的瞬间变化率。而微分(Differential,differentiation, differential calculus),指的是求导数——通过求瞬间变化量的关系来求导数。

\(x\)为单变量时,导数为

\[f'(a) = \frac{dy}{dx} \rvert _{x=a} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\]
Derivative
每个位置处的导数如下
Derivative

基本初等函数包括:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。

基本初等函数通过四则运算和复合可以得到复杂函数,其中减法与加法等价,除法与乘法等价:

  1. 加法(减法):\(f(x)+g(x)\)
  2. 乘法(除法):\(f(x)g(x)\)
  3. 复合:\(f(g(x))\)

加法的求导可以理解为变化量(率)的叠加,即\(f' + g'\)
乘法的求导可以理解为矩形面积的变化率,将\(f(x)\)\(g(x)\)看成矩形的边长,导数为$\(\frac{(f + df)(g+dg)}{dx}\),在\(dx\)趋近于0时,面积增量为\(fdg+gdf\)(忽略了极小项),即导数为\(f'g+fg'\)。如下

复合函数的求导可以理解为变化率的传递\(y = f(u)\)\(u=g(x)\)\(x\)的变化引起\(u\)的变化,\(u\)的变化引起\(y\)的变化,即\(dy=\frac{dy}{du} du =\frac{dy}{du} \frac{du}{dx} dx\)\(\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}\),此为链式法则\(f'(x) = f'(g(x)) g'(x)\)。变化量的传递如下:
Chain Rule

可以令\(x\)变化一个极小量如\(\triangle x=0.000001\),带入函数求\(y\)的变化量\(\triangle y\),用\(\frac{\triangle y}{\triangle x}\)来估计\(x\)位置的导数,但这无疑是费时费力的,常见函数的导数一般都存在解析形式,如下:
Derivatives of Common Functions

参考

posted @ 2019-01-26 18:35  shine-lee  阅读(...)  评论(...编辑  收藏