P2893 [USACO08FEB] Making the Grade G

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题目描述

农夫约翰想改造一条长度为 \(N\) 的路，原来的路的每一段海拔是 \(A_i\)，修理后是 \(B_i\)，花费 \(|A_i - B_i|\)。我们要求修好的路，即你构造的 \(B_i\)，是单调不升或者单调不降的。求最小花费 \(\sum_{i=1}^{N} |A_i - B_i|\)。

输入格式

第一行包含一个整数 \(N\)。

接下来 \(N\) 行，每行包含一个整数 \(A_i\)。

输出格式

一行一个整数，表示最小花费。

输入输出样例 #1

输入 #1

7
1
3
2
4
5
3
9

输出 #1

3

说明/提示

数据范围为 \(1\le N\le 2000, 0\le A_i\le 10^9\)。

补充结论的证明

这道题做法有反悔贪心和dp，但是我觉得更重要的是这个结论：

在满足花费最小化的前提下，一定存在一种构造B的方案，使得B中的每个数都是A序列中的数

证明：数学归纳法

• 以单调不降为例：

• 当 \(n=1\) 时，结论显然成立。

• 假设 \(n=k-1\) 时结论成立，则当 \(n=k\) 时：

  • 若 \(A_k \ge B_{k-1}\) 则可以不动 \(A_k\) ,单调性以及正确性显然。

  • 若 $ A_k <B_{k-1}$ 则可以发现只能在这种为维护单调性而调整的方式中寻找最优解：

    • 令 \(i \in [1,k-1]\) 让 \(i\) 之后的所有元素(包括 \(A_k\) )全部变为 \(x\) ，并且满足 \(x\ge B_i\)

    • 若 \(i=k-1\) 则结论显然成立。

    • 若 \(i<k-1\) 证明如下：

      • 此时的总代价为 \(cost_i+\sum\limits_{j=i+1}^k|a_j-x|\)

      • 对于固定的 \(i\) 而言，左半部分是固定的，右半部分是一个绝对值函数，且是一个凸函数，其取最小值时， \(x\) 为 \([i+1,k]\) 之间的中位数，也就是说，一定存在一个 \(a_p\) , 使得 \(x=a_p\) 那么当然就有 \(B_k=x=a_p \in A\)

      • 又因为在这种情况下只有这样调整才能满足单调性，所以最优解的对应方案一定在这种调整方式中，即一定存在一个固定的 \(i\) 能够让这种情况下的代价最小，而对于任意一个 \(i\) 都满足上述性质，所以结论成立。

        																							$\mathcal{Q.E.D}$
        

结论证明之后做法很多，有基于堆的反悔贪心，有dp，也就不细讲了。