P2831 [NOIP 2016 提高组] 愤怒的小鸟
P2831 [NOIP 2016 提高组] 愤怒的小鸟
题目背景
NOIP2016 提高组 D2T3
题目描述
Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。
简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。
有一架弹弓位于 \((0,0)\) 处，每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如 \(y=ax^2+bx\) 的曲线，其中 \(a,b\) 是 Kiana 指定的参数，且必须满足 \(a < 0\)，\(a,b\) 都是实数。
当小鸟落回地面（即 \(x\) 轴）时，它就会瞬间消失。
在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有 \(n\) 只绿色的小猪，其中第 \(i\) 只小猪所在的坐标为 \(\left(x_i,y_i \right)\)。
如果某只小鸟的飞行轨迹经过了 \(\left( x_i, y_i \right)\)，那么第 \(i\) 只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；
如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过 \(\left( x_i, y_i \right)\)，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第 \(i\) 只小猪产生任何影响。
例如，若两只小猪分别位于 \((1,3)\) 和 \((3,3)\)，Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为 \(y=-x^2+4x\) 的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。
而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。
这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难，所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。
假设这款游戏一共有 \(T\) 个关卡，现在 Kiana 想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。
输入格式
第一行包含一个正整数 \(T\)，表示游戏的关卡总数。
下面依次输入这 \(T\) 个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数 \(n,m\)，分别表示该关卡中的小猪数量和 Kiana 输入的神秘指令类型。接下来的 \(n\) 行中，第 \(i\) 行包含两个正实数 \(x_i,y_i\)，表示第 \(i\) 只小猪坐标为 \((x_i,y_i)\)。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。
如果 \(m=0\)，表示 Kiana 输入了一个没有任何作用的指令。
如果 \(m=1\)，则这个关卡将会满足：至多用 \(\lceil n/3 + 1 \rceil\) 只小鸟即可消灭所有小猪。
如果 \(m=2\)，则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少 \(\lfloor n/3 \rfloor\) 只小猪。
保证 \(1\leq n \leq 18\)，\(0\leq m \leq 2\)，\(0 < x_i,y_i < 10\)，输入中的实数均保留到小数点后两位。
上文中，符号 \(\lceil c \rceil\) 和 \(\lfloor c \rfloor\) 分别表示对 \(c\) 向上取整和向下取整，例如：\(\lceil 2.1 \rceil = \lceil 2.9 \rceil = \lceil 3.0 \rceil = \lfloor 3.0 \rfloor = \lfloor 3.1 \rfloor = \lfloor 3.9 \rfloor = 3\)。
输出格式
对每个关卡依次输出一行答案。
输出的每一行包含一个正整数，表示相应的关卡中，消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。
输入输出样例 #1
输入 #1
2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00
输出 #1
1
1
输入输出样例 #2
输入 #2
3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00
输出 #2
2
2
3
输入输出样例 #3
输入 #3
1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99
输出 #3
6
说明/提示
【样例解释1】
这组数据中一共有两个关卡。
第一个关卡与【问题描述】中的情形相同，\(2\) 只小猪分别位于 \((1.00,3.00)\) 和 \((3.00,3.00)\)，只需发射一只飞行轨迹为 \(y = -x^2 + 4x\) 的小鸟即可消灭它们。
第二个关卡中有 \(5\) 只小猪，但经过观察我们可以发现它们的坐标都在抛物线 \(y = -x^2 + 6x\)上，故 Kiana 只需要发射一只小鸟即可消灭所有小猪。
【数据范围】
| 测试点编号 | \(n\leqslant\) | \(m=\) | \(T\leqslant\) |
|---|---|---|---|
| \(1\) | \(2\) | \(0\) | \(10\) |
| \(2\) | \(2\) | \(0\) | \(30\) |
| \(3\) | \(3\) | \(0\) | \(10\) |
| \(4\) | \(3\) | \(0\) | \(30\) |
| \(5\) | \(4\) | \(0\) | \(10\) |
| \(6\) | \(4\) | \(0\) | \(30\) |
| \(7\) | \(5\) | \(0\) | \(10\) |
| \(8\) | \(6\) | \(0\) | \(10\) |
| \(9\) | \(7\) | \(0\) | \(10\) |
| \(10\) | \(8\) | \(0\) | \(10\) |
| \(11\) | \(9\) | \(0\) | \(30\) |
| \(12\) | \(10\) | \(0\) | \(30\) |
| \(13\) | \(12\) | \(1\) | \(30\) |
| \(14\) | \(12\) | \(2\) | \(30\) |
| \(15\) | \(15\) | \(0\) | \(15\) |
| \(16\) | \(15\) | \(1\) | \(15\) |
| \(17\) | \(15\) | \(2\) | \(15\) |
| \(18\) | \(18\) | \(0\) | \(5\) |
| \(19\) | \(18\) | \(1\) | \(5\) |
| \(20\) | \(18\) | \(2\) | \(5\) |
思路
看到18，想到状压
直接设 \(f[S]\) 为当前集合里最小花费
这道题肯定是要先贪心一下，因为已经定了一个点了，如果要确定一条抛物线，还需要两个点，那么就可以再添加一个辅助数组 \(line[x][y]\) 表示已知两个点之后，确定了这条抛物线，抛物线上的点最多的个数
那么状态转移也基本出来了，这道题重点在于代码细节和特判
code
#include <bits/stdc++.h>
#define x1 xx1
#define x2 xx2
#define y1 yy1
#define y2 yy2
#define double long double
using namespace std;
const int N=20,M=3e5;
const double eps=1e-6;
int n,m;
int f[M];
struct point{
double x,y;
}pos[N];
int line[N][N];
int T;
int main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>T;
while(T--){
memset(line,0,sizeof(line));
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) {
//cout<<i<<endl;
cin>>pos[i].x>>pos[i].y;
}
memset(f,0x3f,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;i++){
line[i][i]=line[i][0]=(1<<(i-1));
for(int j=1;j<i;j++){
if(i==j) continue;
double x1=pos[i].x,y1=pos[i].y;
double x2=pos[j].x,y2=pos[j].y;
if(x1==x2) continue;
double a=(x2 * y1 - x1 * y2)/((x1 * x2 * x1 - x1 * x2 * x2));
double b=(x2 * x2 * y1 - x1 * x1 * y2)/(x1 * x2 * x2 - x1 * x1 * x2);
//double a = (y1 / x1 - y2 / x2) / (x1 - x2);
//double b = (y1 / x1) - a * x1;
if(a>=0) continue;
int s=( (1<<(i-1)) | (1<<(j-1)) );
for(int k=1;k<=n;k++){
if(k==i || k==j) continue;
double x=pos[k].x;
double y=pos[k].y;
if(fabs(a*x*x+b*x-y)<eps){
s|=(1<<(k-1));
} //cout<<"diff:"<<fabs(a*x2*x2+b*x2-y2)<<endl;
}
//cout<<"check:"<<a<<' '<<b<<' '<<i<<' '<<j<<endl;
line[i-1][j-1]=line[j-1][i-1]=s;
f[s]=1;
//cout<<"check:"<<i-1<<' '<<j-1<<' '<<s<<endl;
}
}
f[0]=0;
for(int s=0;s<(1<<n);s++){
for(int i=1;i<=n;i++){
if(s&(1<<(i-1))) continue;
f[s|(1<<(i-1))]=min(f[s|(1<<(i-1))],f[s]+1);
}
for(int i=0;(1<<i)<=s;i++){
for(int j=0;j<=i;j++){
f[s|line[i][j]]=min(f[s|line[i][j]],f[s]+1);
//f[s|line[i][j]]=min(f[(s|line[i][j])^line[i][j]]+1,f[s|line[i][j]]);
//if(line[i][j]) cout<<"line:"<<i<<' '<<j<<' '<<line[i][j]<<endl;
}
}
}
cout<<f[(1<<n)-1]<<'\n';
}
return 0;
}
/*
1
15 1
6.18 2.46
8.58 1.73
7.00 2.31
6.50 2.41
9.00 1.50
5.50 2.49
0.50 0.43
4.00 2.30
1.50 1.17
2.00 1.48
1.00 0.82
9.50 1.20
6.00 2.47
3.50 2.16
3.00 1.97
5
*/
浙公网安备 33010602011771号