P5851 [USACO19DEC] Greedy Pie Eaters P

P5851 [USACO19DEC] Greedy Pie Eaters P

题目背景

Farmer John has \(M\) cows, conveniently labeled \(1 \ldots M\), who enjoy the occasional change of pace
from eating grass. As a treat for the cows, Farmer John has baked \(N\) pies (\(1 \leq N \leq 300\)), labeled
\(1 \ldots N\). Cow \(i\) enjoys pies with labels in the range \([l_i, r_i]\) (from \(l_i\) to \(r_i\) inclusive),
and no two cows enjoy the exact same range of pies. Cow \(i\) also has a weight, \(w_i\), which
is an integer in the range \(1 \ldots 10^6\).

Farmer John may choose a sequence of cows \(c_1,c_2,\ldots, c_K,\) after which the
selected cows will take turns eating in that order. Unfortunately, the cows
don't know how to share! When it is cow \(c_i\)'s turn to eat, she will consume
all of the pies that she enjoys --- that is, all remaining pies in the interval
\([l_{c_i},r_{c_i}]\). Farmer John would like to avoid the awkward situation
occurring when it is a cows turn to eat but all of the pies she enjoys have already been
consumed. Therefore, he wants you to compute the largest possible total weight
(\(w_{c_1}+w_{c_2}+\ldots+w_{c_K}\)) of a sequence \(c_1,c_2,\ldots, c_K\) for which each cow in the
sequence eats at least one pie.

题目描述

Farmer John 有 \(M\) 头奶牛，为了方便，编号为 \(1,\dots,M\)。这些奶牛平时都吃青草，但是喜欢偶尔换换口味。Farmer John 一天烤了 \(N\) 个派请奶牛吃，这 \(N\) 个派编号为 \(1,\dots,N\)。第 \(i\) 头奶牛喜欢吃编号在 \(\left[ l_i,r_i \right]\) 中的派（包括两端），并且没有两头奶牛喜欢吃相同范围的派。第 \(i\) 头奶牛有一个体重 \(w_i\)，这是一个在 \(\left[ 1,10^6 \right]\) 中的正整数。

Farmer John 可以选择一个奶牛序列 \(c_1,c_2,\dots,c_K\)，并让这些奶牛按这个顺序轮流吃派。不幸的是，这些奶牛不知道分享！当奶牛 吃派时，她会把她喜欢吃的派都吃掉——也就是说，她会吃掉编号在 \([l_{c_i},r_{c_i}]\) 中所有剩余的派。Farmer John 想要避免当轮到一头奶牛吃派时，她所有喜欢的派在之前都被吃掉了这样尴尬的情况。因此，他想让你计算，要使奶牛按 \(c_1,c_2,\dots,c_K\) 的顺序吃派，轮到这头奶牛时她喜欢的派至少剩余一个的情况下，这些奶牛的最大可能体重（\(w_{c_1}+w_{c_2}+\ldots+w_{c_K}\)）是多少。

输入格式

第一行包含两个正整数 \(N,M\)；

接下来 \(M\) 行，每行三个正整数 \(w_i,l_i,r_i\)。

输出格式

输出对于一个合法的序列，最大可能的体重值。

输入输出样例 #1

输入 #1

2 2
100 1 2
100 1 1

输出 #1

200

说明/提示

样例解释

在这个样例中，如果奶牛 \(1\) 先吃，那么奶牛 \(2\) 就吃不到派了。然而，先让奶牛 \(2\) 吃，然后奶牛 \(1\) 只吃编号为 \(2\) 的派，仍可以满足条件。

数据范围

对于测试点 \(2-5\)，满足 \(N \le 50,M \le 20\)；

对于测试点 \(6-9\)，满足 \(N \le 50\)。

对于全部数据，\(1 \le N \le 300,1 \le M \le \dfrac{N(N-1)}{2},1 \le l_i,r_i \le N,1 \le w_i \le 10^6\)。

USACO 2019 December 铂金组T1

思路

由数据范围以及题目中出现的 \([l_{c_i},r_{c_i}]\) 可以看出，这是一道区间dp。

不管了，直接设：

\(f_{i,j}\) 指 \([i,j]\) 之间有派被吃掉，剩下的区间中没有派被吃掉的 \(\max \sum w_i\) 。

那么状态转移直接出来了：

\[f_{i,j}=\max \{f_{i,k-1}+f_{k+1,j}+cost(i,j,k),f_{i,k}+f_{k+1,j}\} \]

这里 \(cost(i,j,k)\) 指一头牛 \(p,满足i<=l_p<=k<=r_p<=j\)，且 \(w_p\) 最大的值 。

但是这里发现一个问题，就是我并没有钦定到底选那一头牛，也没有记录，是不是会有重复选择的可能？

实际上是不会的，因为在 \(f_{i,k-1},f_{k+1,j}\) 的左右端点分别将所选择的牛的左右端点限制在了其中，这就导致不存在一头被选择过的牛 \(p\) 使得 \(k \in [l_p,r_p]\) 。

那么我们新加入的牛 \(q\) 一定满足 \(k \in [l_q,r_q]\)，那么它一定和前面所选择的牛互不相同。

那么这个转移就是正确的，时间复杂度 \(O(N^3)\) 。

然后再来看 \(cost(i,j,k)\) 怎么求。这其实也是一个区间dp，初始化就直接这样：\(cost_{l_i,r_i,k}=w_i,k\in [l_i,r_i]\)

然后转移就可以直接 \(cost_{i,j,k}=\max{cost_{i,j-1,k},cost{i+1,j,k}}\)

那么这个预处理 \(cost\) 数组时间复杂度 \(O(N^3)\)

那么总时间复杂度 \(O(N^3)\) ，直接给我过！