P5664 [CSP-S2019] Emiya 家今天的饭
P5664 [CSP-S2019] Emiya 家今天的饭
题目描述
Emiya 是个擅长做菜的高中生，他共掌握 \(n\) 种烹饪方法，且会使用 \(m\) 种主要食材做菜。为了方便叙述，我们对烹饪方法从 \(1 \sim n\) 编号，对主要食材从 \(1 \sim m\) 编号。
Emiya 做的每道菜都将使用恰好一种烹饪方法与恰好一种主要食材。更具体地，Emiya 会做 \(a_{i,j}\) 道不同的使用烹饪方法 \(i\) 和主要食材 \(j\) 的菜（\(1 \leq i \leq n\)、\(1 \leq j \leq m\)），这也意味着 Emiya 总共会做 \(\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} a_{i,j}\) 道不同的菜。
Emiya 今天要准备一桌饭招待 Yazid 和 Rin 这对好朋友，然而三个人对菜的搭配有不同的要求，更具体地，对于一种包含 \(k\) 道菜的搭配方案而言：
- Emiya 不会让大家饿肚子，所以将做至少一道菜，即 \(k \geq 1\)
- Rin 希望品尝不同烹饪方法做出的菜，因此她要求每道菜的烹饪方法互不相同
- Yazid 不希望品尝太多同一食材做出的菜，因此他要求每种主要食材至多在一半的菜（即 \(\lfloor \frac{k}{2} \rfloor\) 道菜）中被使用
这里的 \(\lfloor x \rfloor\) 为下取整函数，表示不超过 \(x\) 的最大整数。
这些要求难不倒 Emiya，但他想知道共有多少种不同的符合要求的搭配方案。两种方案不同，当且仅当存在至少一道菜在一种方案中出现，而不在另一种方案中出现。
Emiya 找到了你，请你帮他计算，你只需要告诉他符合所有要求的搭配方案数对质数 \(998,244,353\) 取模的结果。
输入格式
第 1 行两个用单个空格隔开的整数 \(n,m\)。
第 2 行至第 \(n + 1\) 行，每行 \(m\) 个用单个空格隔开的整数，其中第 \(i + 1\) 行的 \(m\) 个数依次为 \(a_{i,1}, a_{i,2}, \cdots, a_{i,m}\)。
输出格式
仅一行一个整数，表示所求方案数对 \(998,244,353\) 取模的结果。
输入输出样例 #1
输入 #1
2 3
1 0 1
0 1 1
输出 #1
3
输入输出样例 #2
输入 #2
3 3
1 2 3
4 5 0
6 0 0
输出 #2
190
输入输出样例 #3
输入 #3
5 5
1 0 0 1 1
0 1 0 1 0
1 1 1 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1
输出 #3
742
说明/提示
【样例 1 解释】
由于在这个样例中，对于每组 \(i, j\)，Emiya 都最多只会做一道菜，因此我们直接通过给出烹饪方法、主要食材的编号来描述一道菜。
符合要求的方案包括：
- 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜
- 做一道用烹饪方法 1、主要食材 1 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 3 的菜
- 做一道用烹饪方法 1、主要食材 3 的菜和一道用烹饪方法 2、主要食材 2 的菜
因此输出结果为 \(3 \bmod 998,244,353 = 3\)。 需要注意的是，所有只包含一道菜的方案都是不符合要求的，因为唯一的主要食材在超过一半的菜中出现，这不满足 Yazid 的要求。
【样例 2 解释】
Emiya 必须至少做 2 道菜。
做 2 道菜的符合要求的方案数为 100。
做 3 道菜的符合要求的方案数为 90。
因此符合要求的方案数为 100 + 90 = 190。
【数据范围】
| 测试点编号 | \(n=\) | \(m=\) | \(a_{i,j}<\) | 测试点编号 | \(n=\) | \(m=\) | \(a_{i,j}<\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(2\) | \(2\) | \(2\) | \(7\) | \(10\) | \(2\) | \(10^3\) |
| \(2\) | \(2\) | \(3\) | \(2\) | \(8\) | \(10\) | \(3\) | \(10^3\) |
| \(3\) | \(5\) | \(2\) | \(2\) | \(9\sim 12\) | \(40\) | \(2\) | \(10^3\) |
| \(4\) | \(5\) | \(3\) | \(2\) | \(13\sim 16\) | \(40\) | \(3\) | \(10^3\) |
| \(5\) | \(10\) | \(2\) | \(2\) | \(17\sim 21\) | \(40\) | \(500\) | \(10^3\) |
| \(6\) | \(10\) | \(3\) | \(2\) | \(22\sim 25\) | \(100\) | \(2\times 10^3\) | \(998244353\) |
对于所有测试点，保证 \(1 \leq n \leq 100\)，\(1 \leq m \leq 2000\)，\(0 \leq a_{i,j} \lt 998,244,353\)。
题意概括
给定一个 \(n×m\) 的菜谱矩阵 \(a\)（\(a_{i,j}\) 表示用烹饪方法 i 和主要食材 j 能做的菜的道数），求至少选一道菜、所有选中的菜烹饪方法互不相同，且每种主要食材在所选菜品中出现次数不超过菜品总数一半（下取整）的方案数（模 998244353）。
思路
直接求合法状态并不好求，因此考虑正难则反，求出不合法方案数，然后就是dp的状态设计，本问题的关键在于造成方案不合法的因素只有一个，且是单独的一列，故应将其纳入对于状态影响的考虑，又因为这一列对问题的主要影响应该是数量，因而把数量也纳入考虑范围，而方案中的数量关系决定是否合法，因此应该记录考虑的列的对应选取数量以及选取其他列的选取数量，而对于这类计数题多半是有一维用于考虑当前行。
因此可以设 \(f_{i,j,k}\) 表示当前考虑第 \(i\) 行，第 \(p\) 列（当前重点考虑的一列）选了 \(j\) 个，剩下的列中选了 \(k\) 个的方案数，则可以得出
但这样时间复杂度 \(O(n^3m)\) ，空间复杂度\(O(n^2m)\) 无法接受，故考虑优化，dp优化一般要先看状态，看看能不能减少维度，精简状态，如果还不行再考虑数据结构或其他优化技巧
虽然可以发现 \(i\) 仅仅与 \(i-1\) 有关，但时间上不可能优化掉这一维，而时间复杂度迫使我们必须要优化掉循环中四维中的一维，故考虑 \(j,k\) 之间能不能优化掉一维，或者压缩成一维
因为记录的是方案数，若不合法，则可以得出 \(j \ge k\) ，移项得 \(j-k \ge 0\) ，这里 \((j,k)\) 只和 \((j,k-1),(j-1,k)\) 有关，因此可以设 $d=j-k\ ,\ d\ge 0 $ ，则上述方程式可以写成：
枚举 \(i,d,p\) 时间复杂度变成了 \(O(n^2m)\) ，空间复杂度变成了 \(O(nm)\) 可以通过此题，枚举 \(d\) 时要注意因为枚举的是对应状态的方案数，所以 \(d\) 也会出现负数的情况，所以给他加上一个常数就可以了
浙公网安备 33010602011771号