P4095 [HEOI2013] Eden 的新背包问题

P4095 [HEOI2013] Eden 的新背包问题

题目背景

“ 寄 没 有 地 址 的 信 ，这 样 的 情 绪 有 种 距 离 ，你 放 着 谁 的 歌 曲 ，是 怎 样 的 心 情 。 能 不 能 说 给 我 听 。”

题目描述

失忆的 Eden 总想努力地回忆起过去，然而总是只能清晰地记得那种思念的感觉，却不能回忆起她的音容笑貌。

记忆中，她总是喜欢给 Eden 出谜题：在 valentine's day 的夜晚，两人在闹市中闲逛时，望着礼品店里精巧玲珑的各式玩偶，她突发奇想，问了 Eden 这样的一个问题：有 \(n\) 个玩偶，每个玩偶有对应的价值、价钱，每个玩偶都可以被买有限次，在携带的价钱 \(m\) 固定的情况下，如何选择买哪些玩偶以及每个玩偶买多少个，才能使得选择的玩偶总价钱不超过 \(m\)，且价值和最大。

众所周知的，这是一个很经典的多重背包问题，Eden 很快解决了，不过她似乎因为自己的问题被飞快解决感到了一丝不高兴，于是她希望把问题加难：多次询问，每次询问都将给出新的总价钱，并且会去掉某个玩偶（即这个玩偶不能被选择），再问此时的多重背包的答案（即前一段所叙述的问题）。

这下 Eden 犯难了，不过 Eden 不希望自己被难住，你能帮帮他么？

输入格式

第一行有一个整数，代表玩偶的个数 \(n\)，玩偶从 \(0\) 开始编号。

第二行开始后面的 \(n\) 行，每行三个整数，第 \((i + 2)\) 行的整数 \(a_i, b_i, c_i\)，分别表示买一个第 \(i\) 个玩偶需要的价钱，获得的价值以及第 \(i\) 个玩偶的限购次数。

接下来的一行有一个整数 \(q\)，表示询问次数。

接下来 \(q\) 行，每行两个整数 \(d_i, e_i\)，表示每个询问去掉的是哪个玩偶（注意玩偶从 \(0\) 开始编号）以及该询问对应的新的总价钱数。（去掉操作不保留，即不同询问互相独立）。

输出格式

输出 \(q\) 行，第 \(i\) 行输出对于第 \(i\) 个询问的答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 
2 3 4 
1 2 1 
4 1 2 
2 1 1 
3 2 3 
5 
1 10 
2 7 
3 4 
4 8 
0 5

输出 #1

13 
11 
6 
12 
4

说明/提示

样例解释

一共五种玩偶，分别的价钱价值和限购次数为 \((2,3,4)\)， \((1,2,1)\)， \((4,1,2)\)， \((2,1,1)\)， \((3,2,3)\)。

五个询问，以第一个询问为例。

第一个询问表示的是去掉编号为 \(1\) 的玩偶， 且拥有的钱数为 \(10\) 时可以获得的最大价值，则此时剩余玩偶为 \((2,3,4\))，\((4,1,2)\)， \((2,1,1)\)，\((3,2,3)\)，若把编号为 \(0\) 的玩偶买 \(4\) 个（即全买了），然后编号为 \(3\) 的玩偶 买一个，则刚好把 \(10\) 元全部花完，且总价值为 \(13\)。可以证明没有更优的方案了。

注意买某种玩偶不一定要买光。

---

数据规模与约定

• 对于 \(10\%\) 的数据，保证 \(n \leq 10\)。
• 另外存在 \(20\%\) 的数据，保证 \(n \leq 100\)，\(c_i = 1\)，\(q \leq 100\)。
• 另外存在 \(20\%\) 的数据，保证 \(n \leq 100\)，\(q \leq 100\)。
• 另外存在 \(30\%\) 的数据，保证 \(c_i = 1\)。
• 对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(1 \leq n \leq 1000\)，\(1 \leq q \leq 3\times 10^5\)， \(1 \leq a_i,b_i,c_i \leq 100\)，\(0 \leq d_i < n\)，\(0 \leq e_i \leq 1000\)。

思路

这道题出现了单点删除的东西，这玩意可以联想到用两次区间合并/存在/添加？？来替代单点删除

对于这种类型其实是可以联想到cdq分治（联想不到没关系，下次肯定就可以想起来了）或者线段树分治

那么先考虑cdq分治

设 \(solve(l,r)\) 指除了 \([l,r]\) 中的物品都存在时的多重背包，那么就可以这么不停分治下去

注意： \(solve(l,mid)\) 和 \([mid+1,r]\) 中的物品有关，\(solve(mid+1,r)\) 又和 \([l,mid]\) 中的物品有关

因此分治套dp的代码显而易见

注意在做完 \(solve(l,mid)\) 之后 \(f\) 数组要清空，要不然会出现冲突

本题多重背包要使用单调队列优化或者二进制优化

本题代码值得仔细复习和咀嚼

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4e5,M=3e3;
int n;
int a[M],b[M],c[N],f[M][M],q;
vector <pair<int,int>> ask[M];
int ans[N];
void dp(int d,int i){
	for(int u=0;u<a[i];u++){
		deque <pair<int,int>> dq;
		for(int k=0;u+k*a[i]<=1000;k++){
			int tmp=f[d][u+k*a[i]]-k*b[i];
			while(!dq.empty() && dq.back().first<tmp) dq.pop_back();
			dq.push_back({tmp,k});
			while(!dq.empty() && k-dq.front().second>c[i]) dq.pop_front();
			f[d][u+k*a[i]]=max(f[d][u+k*a[i]],dq.front().first+k*b[i]);
		}
	}
}

void solve(int d,int l,int r){
	if(l==r){
		for(int i=0;i<ask[l].size();i++){
			int m=ask[l][i].first;
			int id=ask[l][i].second;
			ans[id]=f[d][m];
		}return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	for(int i=1;i<=1000;i++) f[d+1][i]=f[d][i];
	for(int i=mid+1;i<=r;i++) dp(d+1,i);
	solve(d+1,l,mid);
	
	for(int i=1;i<=1000;i++) f[d+1][i]=f[d][i];
	for(int i=l;i<=mid;i++) dp(d+1,i);
	solve(d+1,mid+1,r);
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];
	}
	cin>>q;
	for(int i=1;i<=q;i++){
		int d,e;
		cin>>d>>e;
		ask[d+1].push_back({e,i});
	}
	solve(1,1,n);
	for(int i=1;i<=q;i++) cout<<ans[i]<<'\n';
	
	return 0;
}