P3565 [POI 2014] HOT-Hotels

P3565 [POI 2014] HOT-Hotels

题目描述

在 Byteotia 有 \(n\) 个城镇，通过 \(n-1\) 条道路连接。

每条道路直接连接两个城镇。

所有的道路长度相同，并且是双向的。

已知每个城镇都可以通过一条或多条（直接连接的）道路到达其他城镇。

换句话说，道路网络形成了一棵树。

Byteotia 的国王 Byteasar 希望建造三家豪华酒店，以吸引来自世界各地的游客。

国王希望这些酒店位于不同的城镇，并且彼此之间的距离相同。

请通过编写程序来帮助国王，确定在 Byteotia 中可能的酒店三元组位置的数量。

输入格式

标准输入的第一行包含一个整数 \(n\) (\(1\le n\le 5\ 000\))，表示 Byteotia 中的城镇数量。

城镇编号从 \(1\) 到 \(n\)。

接下来 \(n-1\) 行描述了 Byteotia 的道路网络。

每行包含两个整数 \(a\) 和 \(b\) (\(1\le a\le b\le n\))，用一个空格分隔，表示在城镇 \(a\) 和 \(b\) 之间有一条直接的道路。

输出格式

标准输出的第一行应包含一个整数，表示可能的酒店位置的数量。

输入输出样例 #1

输入 #1

7
1 2
5 7
2 5
2 3
5 6
4 5

输出 #1

5

说明/提示

题面翻译由 ChatGPT-4o 提供。

题意概括

求出一棵树中三个点两两距离相等的三元组的数量

思路

这道题可以发现的是若遍历到了 \(v_i\) 已知前面的子树 \(v_j\) 上的距离 \(u\) 为 \(d\) 的点对个数，那么求出新子树中的距离 \(u\) 为 \(d\) 的个数之后就可以用乘法原理算出来整棵树的这一部分对答案的贡献，这里复杂度显然 \(O(n)\) 那么换一次根 \(O(n)\) ，时间复杂度 \(O(n^2)\)

这道题设计及其巧妙，代码及其思路真的值得反复咀嚼复习

code

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=5010;
vector <int> g1[N];
long long dep[N],maxdep;
long long g[N],f1[N],f2[N],f3[N],n;

int dfs(int u,int fa){
	//cout<<u<<endl;
	g[dep[u]]++;
	int res=dep[u];
	for(int v:g1[u]){
		if(v==fa) continue;
		dep[v]=dep[u]+1;
		res=max(res,dfs(v,u));
	}
	return res;
}
int ans;
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v;
		cin>>u>>v;
		g1[u].push_back(v);
		g1[v].push_back(u);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		memset(f1,0,sizeof(f1));
		memset(f2,0,sizeof(f2));
		memset(f3,0,sizeof(f3));
		for(int v:g1[i]){
			dep[v]=1;
			maxdep=dfs(v,i);
			for(int k=maxdep;k>=1;k--){
				f3[k]+=f2[k]*g[k];
				f2[k]+=f1[k]*g[k];
				f1[k]+=g[k];
				g[k]=0;
			}
		}
		for(int k=1;k<=n;k++) ans+=f3[k];
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}