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题目大意：

给一棵n个点的树，选m个点，这m个点只能在叶子节点上，问着m个点中两两之间到达其余各点的距离和最小值是多少
题解：
任意两点的树上距离和问题应从边的贡献角度考虑。

树形dp
设 f[u][i] 表示以 u 为根的子树中，选了 i 个叶子节点的最优解，状态转移方程为：

f[u][i+j]=min(f[u][i+j],f[u][i]+f[v][j]+w∗j∗(j−m))

其中所加项为子节点和父节点之间的边的贡献

/*
[HAOI2015]树上染色  的弱化版 
*/ 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int T,n,m,cas;
int main(){
    for(scanf("%d",&T);T--;){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        vector<vector<pair<int,ll> > >e(n+1);
        for(int i=1,x,y,z;i<n;i++){
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            e[x].emplace_back(y,z);
            e[y].emplace_back(x,z);
        }
        if(m==1){printf("Case #%d: 0\n",++cas);continue;}
        if(n==2){printf("Case #%d: %lld\n",++cas,e[1][0].second);continue;}
        vector<vector<ll> > f(n+1,vector<ll>(m+1,1e14));vector<int>siz(n+1,0);
        function<void(int,int)>dfs=[&](int u,int fa)->void{
            bool leaf=1;
            f[u][0]=0;
            for(auto t:e[u]){
                int v=t.first;ll w=t.second;
                if(v==fa) continue;
                leaf=0;
                dfs(v,u);
                for(int i=min(siz[u],m);~i;i--){
                    for(int j=min(siz[v],m-i);~j;j--){
                        f[u][i+j]=min(f[u][i+j],f[u][i]+f[v][j]+w*(m-j)*j);
                    }
                }
                siz[u]+=siz[v];
            }
            if(leaf){f[u][1]=0;siz[u]=1;}
        };
        int rt=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) if(e[i].size()>1){rt=i;break;}
        dfs(rt,0);
        printf("Case #%d: %lld\n",++cas,f[rt][m]);
    }
    return 0;
}

 第二版

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
const int M=N<<1;
const int Kn=105;
typedef long long ll;
int T,n,k,cas;
int tot,to[M],nxt[M],head[N],ind[N],siz[N];ll val[M];bool vis[N];
ll f[N][Kn];
inline void add(int x,int y,ll z){
    ind[x]++;to[++tot]=y;val[tot]=z;nxt[tot]=head[x];head[x]=tot;
}
void dfs(int u,int fa){
    for(int l=head[u];l;l=nxt[l]){
        int v=to[l];ll w=val[l];
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u);
        siz[u]+=siz[v];
        for(int i=min(siz[u],k);i;i--){
            for(int j=1,re=min(siz[v],i);j<=re;j++){
                f[u][i]=min(f[u][i],f[u][i-j]+f[v][j]+w*(k-j)*j);
            }
        }
    }
};
void init_dp(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[i][0]=0;
        for(int j=1;j<=k;j++) f[i][j]=1e17;
        if(ind[i]==1) siz[i]=1,f[i][1]=0;
    } 
}
inline void Clear(){
    tot=0;
    memset(ind,0,sizeof ind);
    memset(siz,0,sizeof siz);
    memset(head,0,sizeof head);
}
int main(){
    for(scanf("%d",&T);T--;Clear()){
        scanf("%d%d",&n,&k);
        for(int i=1,x,y,z;i<n;i++){
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            add(x,y,z);
            add(y,x,z);
        }
        int rt=1;
        for(int i=1;i<=n;i++) if(ind[i]>1){rt=i;break;}
        init_dp();
        dfs(rt,0);
        printf("Case #%d: %lld\n",++cas,f[rt][k]);
    }
    return 0;
}