基础图论

完全图（Complete Graph）

用 \(K_n\) 表示，其中 \(n\) 是顶点的数量。
在一个 \(n\) 阶完全图中，边的总数 \(m\) 为：$$m = \frac{n(n-1)}{2}$$
每个顶点的度数都是 \(n-1\)。

补图(Complement Graph)

补图的生成规则如下：

• 点集不变：\(G\) 和 \(\bar{G}\) 拥有完全相同的顶点。
• 边集反转：如果在 \(G\) 中两个点之间有边，那么在 \(\bar{G}\) 中这两个点之间就没有边；反之，如果在 \(G\) 中两个点之间没有边，那么在 \(\bar{G}\) 中这两个点之间就必须有边。

自补图(Self-Complementary)

顶点数限制：如果一个自补图有 \(n\) 个顶点，那么 \(n\) 必须满足:$$n \equiv 0 \pmod 4 \quad \text{或者} \quad n \equiv 1 \pmod 4$$,也就是说，\(n\) 只能是 4, 5, 8, 9, 12, 13... 这种数字。

原因：一个完全图 \(K_n\) 的总边数是 \(\frac{n(n-1)}{2}\)。因为 \(G\) 和 \(\bar{G}\) 边数相等，所以 \(G\) 的边数必须正好是总边数的一半，即 \(\frac{n(n-1)}{4}\)。要让边数是整数，\(n(n-1)\) 必须能被 4 整除。

邻接矩阵计算度数

若 \(G\) 是无向图，则结点 \(v_i\) 的度数 \(\deg(v_i) = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} + a_{ii}\)，或 \(\deg(v_i) = \sum_{k=1}^{n} a_{ki} + a_{ii}\)；

若 \(G\) 是有向图，则结点 \(v_i\) 的出度 \(\deg^+(v_i) = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\)，入度 \(\deg^-(v_i) = \sum_{k=1}^{n} a_{ki}\)。

图论基本定理：握手定理

图中结点度数的总和等于边数的二倍，即设图\(G=<V,E>\),则有

\[\sum_{v\in V}deg(v)=2|E|. \]

推论1：图中度数为奇数的结点个数为偶数。

常称度数为奇数的结点为奇度数结点，度数为偶数的结点为偶度数结点
设图 \(G = <V, E>\)，\(V_1 = \{v | v \in V \text{ 且 } deg(v) \text{ 为奇数} \}\)，\(V_2 = \{v | v \in V \text{ 且 } deg(v) \text{ 为偶数} \}\)。显然，\(V_1 \cap V_2 = \varnothing\)，且 \(V_1 \cup V_2 = V\)，于是

\[\sum_{v \in V} deg(v) = \sum_{v \in V_1} deg(v) + \sum_{v \in V_2} deg(v) = 2|E|. \]

式中 \(2|E|\) 和 \(\sum_{v \in V_2} deg(v)\)（偶数之和为偶数）均为偶数，因而 \(\sum_{v \in V_1} deg(v)\) 也为偶数。于是 \(|V_1|\) 为偶数，即度数为奇数的结点个数为偶数。

推论2：有向图中各结点的出度之和等于各结点的入度之和等于边数

设有向图\(G=<V,E>\),则有

\[\sum_{v\in V}deg^+(v)=\sum_{v\in V}deg^-(v)=|E|. \]

图的度数序列

设\(V=\{v_1,v_2,\cdots,v_n\}\)为图\(G\)的结点集，称\((deg(v_1),deg(v_2),\cdots,deg(v_n))\)为\(G\)的度数序列.
若\(G\)为有向图，还可分别定义出度序列和入度序列。

图的同构

同构的必要条件
• 结点数目相同
• 边数相同
• 度数相同的结点数相同

通路的计算

设 \(A\) 是简单图 \(G\) 的邻接矩阵，则从结点 \(v_i\) 到结点 \(v_j\) 的长度为 \(k\) (\(k \in \mathbb{Z}^+\)) 的通路数量，等于矩阵 \(A^k\)中第 \(i\) 行、第 \(j\) 列的元素值值，记作 \(a_{ij}^{(k)}\)。

短程线及距离

如果\(v_i\)到\(v_j\)可达，则称长度最短的通路为从\(v_i\)到\(v_j\)的短程线，从\(v_i\)到\(v_j\)的短程线的长度称为从\(v_i\)到\(v_j\)的距离(distance),记为\(d(v_i,v_j)\)；
如果\(v_i\)到\(v_j\)不可达，则通常记为\(d(v_i,v_j)=\infty。\)

\[\left.d(v_i,v_j)=\left\{\begin{array}{cc}\infty&\text{如果所有}a_{ij}^{(m)}\text{均为}0\\k&k=min\{m|a_{ij}^{(m)}\neq0\}\end{array}\right.,(m=1,2,3,\cdots,n)。\right. \]

点割集与割点

定义：

• 破坏连通性： \(p(G - V') > p(G)\)（即：删去 \(V'\) 中的结点及其关联边后，图的连通分支数增加，原本连通的部分变得不连通了）。
• 极小性： 对于任意的 \(V'' \subset V'\)，均有 \(p(G - V'') = p(G)\)（即：\(V'\) 是达成上述破坏效果的最小单位，去掉其中任何一个点，剩余的点集就不足以破坏原图的连通性）。则称 \(V'\) 为 \(G\) 的一个点割集。
  割点：若点割集中只有一个结点 \(v\)，则称 \(v\) 为割点。
  
  \(\left\{v_3,v_5\right\}\left\{v_2\right\}\left\{v_6\right\}\)为点割集；
  \(v_2,v_6\)是割点
  \(\left\{v_2,v_4\right\}\left\{v_1,v_6\right\}\)都不是点割集

边割集与割边

定义：

设无向图 \(G = \langle V, E \rangle\)，其中 \(V\) 是结点集，\(E\) 是边集。边割集 (Edge Cut Set)：若存在边子集 \(E' \subseteq E\)，满足以下两个条件：

• 破坏连通性：\(p(G - E') > p(G)\)（删掉这些边后，图的连通分支数增加，即原本连通的图变得不连通）。
• 极小性 (Minimality)：对于 \(E'\) 的任何真子集 \(E'' \subset E'\)，都有 \(p(G - E'') = p(G)\)（即 \(E'\) 是达成破坏效果的“最小单位”，少删任何一条边图都会保持连通）。
  割边：若边割集中只有一条边 \(e\)，则称 \(e\) 为割边，也常被称为桥。
  
  \(\{e_{3},e_{4}\},\{e_{4},e_{5}\},\{e_{1},e_{2},e_{3}\},\{e_{1},e_{2},e_{4}\},\{e_{9}\}\) 为边割集;
  \(e_{9}\) 是割边;
  \(\{e_{6},e_{7},e_{9}\},\{e_{1},e_{2},e_{5},e_{6},e_{9}\}\) 都不是边割集.

欧拉图

定义：

设 G 是无孤立结点的图，若存在一条通路 (回路),经过图中每边一次且仅一次，则称此通路 (回路) 为该图的一条欧拉通路 (回路)。具有欧拉回路的图称为欧拉图。

无向欧拉图的判定定理：

无向图 \(G = < V, E >\) 具有一条欧拉通路，当且仅当 \(G\) 是连通的，且仅有零个或两个奇度数结点。
无向图 \(G = < V, E >\) 具有一条欧拉回路，当且仅当 \(G\) 是连通的，并且所有结点的度数均为偶数。

有向欧拉图的判定定理:

有向图 G 具有一条欧拉通路，当且仅当\(G\)是连通的，且除了两个结点以外，其余结点的入度等于出度，而这两个例外的结点中，一个结点的入度比出度大 1,另一个结点的出度比入度小1。
有向图 G 具有一条欧拉回路，当且仅当\(G\)是连通的，且所有结点的入度等于出度。

哈密顿图

定义：

设 G 是一个无向或有向图，若存在一条通路 (回路),经过图中每个结点一次且仅一次则称此通路 (回路) 为该图的一条哈密顿通路 (回路)。具有哈密顿回路的图称为哈密顿图。