noip2026 模拟赛01

莫春者(muchun)

题目背景

“莫春者，春服既成。冠者五六人，童子六七人。风乎舞雩，咏而归。”

此句录于帛书卷首，乃是术数先人暮春观气所记；而今寒江暮秋，侠客墨椿湘寻得这份跨越时节的玄图秘藏。

他一路追随着传闻，寻访百年前隐世术数大家遗留的秘藏。途经乱山荒祠，于坍塌香案之下寻得一卷受潮泛黄的帛书玄图。帛书之上布有若干玄点，丝丝玄络纵横交错，乃是古时推演天地气脉的秘图。

帛书序言残缺，只留下一段文字：图中玄点相互勾连，玄络往来相通，可凭络数演算络气总和。墨椿湘潜心研读，破译出图中演算之法。

题目描述

定义函数：

\[f(x,y) = (x \oplus y) \times (x \mid y) \times (x \& y) \]

其中 \(\oplus,|,\&\) 分别代表按位异或、按位或、按位与。

玄图上一共有 \(n\) 个玄点，绘制有 \(m\) 条双向玄络。玄络不会连接同一个玄点，两个玄点之间允许存在多条玄络。记玄点 \(i\) 相连的玄络数量为 \(\mathrm{deg}_i\)。

请你求出：

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n f(\mathrm{deg}_i,\mathrm{deg}_j) \]

由于最终络气数值极大，请将答案对 \(10^9+7\) 取模后输出。

输入格式

第一行两个整数 \(n,m\)。

接下来 \(m\) 行，每行两个整数 \(u,v\)，代表一条连接玄点 \(u\) 与玄点 \(v\) 的玄络。

输出格式

输出一行一个整数，表示所求总和对 \(10^9+7\) 取模的结果。

输入样例1

5 6
1 2
1 3
1 4
5 2
2 5
4 3

输出样例1

36

输入样例2

见选手目录下的 muchun/muchun2.in。

输出样例2

见选手目录下的 muchun/muchun2.ans 。

说明/提示

测试点编号	特殊性质	分值
\(1\sim 2\)	\(n \le 2000\)	20
\(3\sim 5\)	\(\forall i,\mathrm{deg}_i \le 2000\)	30
\(6\sim 10\)	无	50

对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le n \le 2\times 10^5,\ 0 \le m \le 2\times 10^6\)，保证给出的图无自环。

忆追(llacer)

题目背景

过去常常追忆我。

脑海瞬间定格在生命。背后的时间将我裁剪、折叠、蜷曲，揉捻成天上朵朵白云。

分别之间亦有云朵：积云飘渺，而卷云厚重。我的一生掠过生命里震撼的场景便思绪无法忘怀，而些许残骸在时间的冲刷下只留下更为普通平常的记忆。入梦宛如追忆，太过自己则无法愉悦清楚的幻想，过分虚无却又坠入模糊。只有山水间的薄雾，女子下的面纱，那恰到朦胧的好处，才能满足美对的我苛求。

我总在不经意间将追忆裹进泛黄的纸页里。分别又重聚的朋友，推倒又重建的街道，我协助种种线索从一个具体的时刻出发沿时间的河逆流而上。曾经的日子无法重来，过客只不过是一个我。但闲暇时间仍然渴望在每一次追忆之旅中留下我，在一个场景前驻足，在岁月的朦胧里瞭望过去的自己，感受尽可能多的甜蜜。我的身体曾流过美好的时光，我便心满意足。

凝固已经过去，回忆带着我向前，只是时常疏于保管，形态也在改变着各自的回忆。我的追忆旅程给这带来些许挑战。

我该在哪里停留？我自己问我。

题目描述

给定一个正整数 \(D\)，我们基于它构建如下图：

• 每个顶点是 \(D\) 的一个约数（不要求是质数，\(1\) 和 \(D\) 本身也包括在内）；
• 对于两个顶点 \(x\) 和 \(y\)（\(x > y\)），如果 \(x\) 能被 \(y\) 整除且 \(\frac{x}{y}\) 是质数，则在它们之间连一条无向边；
• 边的权值为 \(x\) 的约数中不是 \(y\) 的约数的个数。

例如，\(D=12\) 时的图如下：

边 \((4,12)\) 的权值为 \(3\)，因为 \(12\) 的约数为 \([1,2,3,4,6,12]\)，\(4\) 的约数为 \([1,2,4]\)，因此 \(12\) 有 \(3\) 个约数不是 \(4\) 的约数——\([3,6,12]\)。

\(3\) 和 \(2\) 之间没有边，因为 \(3\) 不能被 \(2\) 整除。\(12\) 和 \(3\) 之间没有边，因为 \(\frac{12}{3}=4\) 不是质数。

在该图中，某两个顶点 \(v\) 和 \(u\) 之间一条路径的长度为路径上所有边的权值之和。例如，路径 \([(1,2),(2,6),(6,12),(12,4),(4,2),(2,6)]\) 的长度为 \(1+2+2+3+1+2=11\)。空路径的长度为 \(0\)。

因此，两个顶点 \(v\) 和 \(u\) 之间的最短路径，就是所有可能路径中长度最小的那一条。

如果两条路径 \(a\) 和 \(b\) 的边数不同，或者存在某个位置 \(i\) 使得 \(a_i\) 和 \(b_i\) 是不同的边，则认为这两条路径不同。

现在给定 \(q\) 个询问，每个询问如下：

• \(v\ u\) —— 计算从顶点 \(v\) 到顶点 \(u\) 的最短路径的数量。

每个询问的答案可能很大，请对 \(998244353\) 取模后输出。

输入格式

第一行包含一个整数 \(D\)（\(1 \le D \le 10^{15}\)）——用于构建图的数。

第二行包含一个整数 \(q\)（\(1 \le q \le 3 \times 10^5\)）——询问的数量。

接下来 \(q\) 行，每行包含两个整数 \(v\) 和 \(u\)（\(1 \le v, u \le D\)）。保证 \(D\) 能被 \(v\) 和 \(u\) 整除（即 \(v\) 和 \(u\) 都是 \(D\) 的约数）。

输出格式

输出 \(q\) 个整数，每个询问输出一行，表示从给定的两个顶点之间的最短路径数量，对 \(998244353\) 取模。

输入样例1

12
3
4 4
12 1
3 4

输出样例1

1
3
1

输入样例2

1
1
1 1

输出样例2

1

输入样例3

5000 5
20 100
500 5
1000 75
125 250
8 75

输出样例3

1
6
4
1
1

输入样例4

288807105787200
4
46 482955026400
12556830686400 897
414 12556830686400
4443186242880 325

输出样例4

547558588
277147129
457421435
702277623

样例解释

在第一个样例中：

• 第一个询问只有空路径，长度为 \(0\)；
• 第二个询问有路径 \([(12,4),(4,2),(2,1)]\)（长度 \(3+1+1=5\)）、\([(12,6),(6,2),(2,1)]\)（长度 \(2+2+1=5\)）和 \([(12,6),(6,3),(3,1)]\)（长度 \(2+2+1=5\)）；
• 第三个询问只有路径 \([(3,1),(1,2),(2,4)]\)（长度 \(1+1+1=3\)）。

说明/提示

对于所有测试数据，保证：\(1\leq q\leq 3\times 10^5\)，\(1\leq D\leq 10^{15}\)，\(1 \le v, u \le D\) ,保证 \(D\) 能被 \(v\) 和 \(u\) 整除（即 \(v\) 和 \(u\) 都是 \(D\) 的约数）。

Subtask	测试点	\(q\)	\(D\)	特殊性质
\(1\)	\(1\)	\(\leq 1\)	\(\leq 6\)	无
\(2\)	\(2\sim 4\)	\(\leq 1\)	\(\leq 15\)	^
\(3\)	\(5\sim 7\)	\(\leq 100\)	\(\leq 10^5\)	^
\(4\)	\(8 \sim 10\)	\(\leq 5\times 10^3\)	\(\leq 10^{10}\)	有
\(5\)	\(11\sim 20\)	\(\le 3\times 10^5\)	\(\leq 10^{15}\)	无

特殊性质：保证每次询问有 \(u=1\)。

繁殖菌(mushroom)

题目背景

西南边陲的喀斯特地底，藏着一片与世隔绝的巨型溶洞，当地山民称其为菌渊。溶洞地心处矗立着一株存续万年的太古菌母，整块岩层都被它交错盘绕的粗硕菌丝牢牢包裹，是整片地下菌群的生命源头。菌母不会直接产生孢子，而是依靠体表不断分裂出大小不一的菌体，每一枚新生菌体都会附着一簇专属的繁殖菌。这种繁殖菌生命力极强，仅能顺着菌丝向岩层深处单向繁衍，无法逆向生长；每一类繁殖菌都会在依附的菌体表面烙下独属于自己的孢子纹路，纹路以长短不一的字符构成，纹路相同即代表是同一菌株，纹路有别则为完全不同的菌群。

亿万年的繁衍让菌渊的菌丝网络铺展得无比庞大，分支层层嵌套、代代分化，从菌母延伸出一级菌体，一级菌体再分生二级菌体，层级无限延伸，形成一座枝繁叶茂的巨型菌体树。近些年高校地质微生物科考团队进驻菌渊，计划完整记录地底繁殖菌的分布规律，以此提高认知，完善远古微生物演化相关学术理论。

地底溶洞常年阴冷潮湿，科考工作站需要长期开空调维持恒温干燥环境，才能妥善存放观测仪器与样本；长期驻场调查需要持续投入大量人力物力财力，可菌体数量多达数十万，每日待处理的统计查询动辄上万次，仅靠人工逐一翻看、清点孢子纹路，不仅消耗巨大资源，还极易出现统计疏漏、效率低下。

科考队员的工作繁琐且重复：他们会选定任意一枚菌体作为观测分支起点，只观察这枚菌体向下延伸出的所有后代菌体，再筛选出恰好比观测起点多繁衍固定层数的菌体，统计这片范围内一共出现过多少种不一样的繁殖菌孢子纹路。为减少资源损耗、提升调研效率，科考团队找到你，希望你编写程序，快速完成所有菌群统计工作。

题目描述

地底菌群的生长结构恰好构成一棵以菌母本体（编号 \(0\)）为根的树，总计包含 \(n+1\) 个菌体节点，除去根节点外，每一个菌体表面都印有一串代表自身繁殖菌孢子纹路的字符串。

定义非根节点 \(u\) 的深度为 \(d[u]=d[r[u]]+1\)，其中 \(r[u]\) 表示 \(u\) 的直接母体菌体；根节点菌母的深度 \(d[0]=0\)。

给定 \(m\) 次普查询问，每次给定菌体编号 \(u\) 与层级差 \(k\)。请你统计：在以菌体 \(u\) 为分支起点的全部后代菌体中，恰好比 \(u\) 多繁衍 \(k\) 层（满足 \(d[v]-d[u]=k\)）的菌体 \(v\) 上，一共出现了多少种互不相同的繁殖菌孢子纹路字符串。

输入格式

第一行包含一个整数 \(n\) 。接下来的 \(n\) 行，第 \(i\) 行包含字符串 \(s[i]\) 和整数 \(r[i]\) $ (0 \le r[i] \le n) $，其中 \(s[i]\) 是编号为 \(i\) 节点上的字符串，保证其非空且长度不超过 \(20\)，\(r[i]\) 是编号为 \(i\) 的节点的直接祖先的编号。

接下来一行包含一个整数 \(m\)，接下来的 \(m\) 行每行包含两个整数 \(u, k\) $ (1 \le u, k \le n) $。

输出格式

输出 \(m\) 行，一行一个整数，每个整数表示对应询问的答案。

输入样例1

6
pasha 0
gerald 1
gerald 1
valera 2
igor 3
olesya 1
5
1 1
1 2
1 3
3 1
6 1

输出样例1

2
2
0
1
0

输入样例2

6
valera 0
valera 1
valera 1
gerald 0
valera 4
kolya 4
7
1 1
1 2
2 1
2 2
4 1
5 1
6 1

输出样例2

1
0
0
0
2
0
0

输入样例3

见选手目录下的 mushroom/mushroom3.in 。满足测试点 \(1 \sim 4\) 的约束。

输出样例3

见选手目录下的 mushroom/mushroom3.ans 。满足测试点 \(1 \sim 4\) 的约束。

输入样例4

见选手目录下的 mushroom/mushroom4.in 。满足测试点 \(5 \sim 8\) 的约束。

输出样例4

见选手目录下的 mushroom/mushroom4.ans 。满足测试点 \(5 \sim 8\) 的约束。

输入样例5

见选手目录下的 mushroom/mushroom5.in 。满足测试点 \(9 \sim 12\) 的约束。

输出样例5

见选手目录下的 mushroom/mushroom5.ans 。满足测试点 \(9 \sim 12\) 的约束。

输入样例6

见选手目录下的 mushroom/mushroom6.in 。满足测试点 \(13 \sim 16\) 的约束。

输出样例6

见选手目录下的 mushroom/mushroom.6ans 。满足测试点 \(13 \sim 16\) 的约束。

输入样例7

见选手目录下的 mushroom/mushroom7.in 。满足测试点 \(17 \sim 20\) 的约束。

输出样例7

见选手目录下的 mushroom/mushroom7.ans 。满足测试点 \(17 \sim 20\) 的约束。

说明/提示

Subtask	测试点	\(n,m\)	特殊性质
\(1\)	\(1\sim 4\)	\(\leq 1000\)	无
\(2\)	\(5 \sim 8\)	\(\leq 10^5\)	A
\(3\)	\(9 \sim 12\)	^	B
\(4\)	\(13\sim 16\)	^	C
\(5\)	\(17\sim 20\)	^	无

特殊性质 A ：保证所有点的字符串各不相同。

特殊性质 B ：保证每次询问有 \(u=0\)。

特殊性质 C ：保证 \(\forall i\in \{ 1,2,3,\dots,n \}, r[i]=0\)。

执念之地(cling)

题目背景

鸟白岛的夏日常常安静得只剩下涛声。

鸣濑白羽长久伫立在码头边，望着翻涌的碧海与层叠屋舍。这座海岛上流传着七影蝶的传说，那些泛着幽蓝微光的蝶，承载着岛上所有人的回忆，漫无目的地随风飘荡。

白羽比谁都清楚命运的重量，她总是独自与大海对视，轻声自语：

“靠近我的人，都会遭遇不幸。”

她习惯独自承受宿命带来的孤寂，将无数心事藏心底。四季流转，无数记忆如同七影蝶一般，在海岸线舒展延伸。每一段往事没有既定起点，也没有注定终点，只是海岸上一段随性铺展的轨迹。

大部分回忆转瞬便被海潮冲淡，消散在热风之中。但总有一些沿岸之地，被数不尽的记忆反复抵达、层层交织，积攒起厚重无法卸下的执念。

总有一些海岸，被数不尽的蝶影反复途经，无数段往事在此交织堆叠，沉淀成难以消解的心结。

当夏风吹过海岸线，吹过这片承载层层思念的执念之地……

题目描述

海岸线是数轴上的区间 \([0,l]\)。在其上独立随机生成 \(n\) 条线段，每条线段由区间内随机选取两个点构成。

定义一处位置为执念之地，当且仅当该位置被至少 \(k\) 条线段覆盖。求所有执念之地总长度的数学期望。

输入格式

一行，输入三个整数 \(n,k,l\)。

输出格式

输出一个整数——所有被至少 \(k\) 条线段覆盖的区间的期望总长度对 \(998244353\) 取模的结果。

形式化地，设 \(M = 998244353\)。可以证明答案可以表示为最简分数 \(\frac{p}{q}\)，其中 \(p\) 和 \(q\) 是整数且 \(q \not \equiv 0 \pmod{M}\)。输出等于 \(p \cdot q^{-1} \bmod M\) 的整数。换句话说，输出一个整数 \(x\)，满足 \(0 \le x < M\) 且 \(x \cdot q \equiv p \pmod{M}\)。

输入样例 1

1 1 1

输出样例 1

332748118

输入样例 2

6 2 1

输出样例 2

760234711

输入样例3

1145 14 1919810

输出样例3

736650018

说明/提示

样例 \(1\) 中期望总长度为 \(\frac{1}{3}\)，而 \(3^{-1}\) 对 \(998244353\) 取模结果是 \(332748118\)。

对 \(100\%\) 的数据有 \(1\le k \le n \le 10^5,1\le l \le 10^{18}\)。

测试样例点	$k \le n \le $	\(l\le\)
\(1\)	\(10\)	\(1\)
\(2\)	\(100\)	^
$3 $	\(2000\)	^
\(4\)	^	\(10^3\)
\(5\)	^	\(10^9\)
\(6\)	\(10^5\)	^
\(7\)	^	\(10^{18}\)
\(8\)	^	^
$ 9$	^	^
\(10\)	^	^