【OI】ABC比赛中出现的Trick

ABC422

E 随机化

适用场景：判断性问题，答案命中率高，答案容易验证。

ABC428

E 树的直径的性质

对于树上任意一个节点 \(u\)，在所有与 \(u\) 存在路径的节点中，距离 \(u\) 最远的节点 \(v\)，必定是该树某条直径的两个端点之一。

ABC434

E 占点 \(\to\) 图上占点

我们发现，有用的点貌似只有 \(x+r\) 和 \(x−r\) 两个点，原来的点是什么，我们并不关心。

所以，我们把所有的可能的答案上的点取出来，对于每两个从同一个 \(x\) 中得到的点连一条边。

这个问题就变成了，对于每一条边，选择一个端点，并且染上色，并且要使得染色的点尽可能多。

很容易发现，这个图可能不是一个连通块，而是多个连通块组成的。

然而，因为每个连通块的边和其他的连通块中的边都是独立的，所以每个连通块都是独立的。

那么，我们分开连通块考虑树和图即可。

F 打乱

随机化打乱函数：

random_shuffle(t+1,t+1+n);

ABC436

E 排序问题 $\to $ 建图

给出一个非有序的排列，如何用最少的交换次数使其有序？

举个例子，我们给出一个排列 \(p\)：

位置	1	2	3	4	5	6
元素	3	2	4	1	6	5

对于元素 \(i\)，现在位于位置 \(x\)，他需要去到的是位置 \(i\)。我们可以用边来表示这样的关系，也就是将每一组位置 \(x\) 和元素 \(i\) 连边。对于这一组数据，结果为：

这个图告诉了我们什么信息？

位置 \(1\) 上的元素要去位置 \(3\)，位置 \(3\) 上的元素要去位置 \(4\)，位置 \(4\) 上的元素要去位置 \(1\)。

位置 \(5\) 上的元素要去位置 \(6\)，位置 \(6\) 上的元素要去位置 \(5\)。

位置 \(2\) 上的元素不需要动。

发现了什么吗？对于一个环 \(C\)，我们只需要进行 \(|C|-1\) 次交换操作，就能完成对环内元素的排序。所有环排完序，整个排列就有序了。

我们按照上面的建图方法建图，即对于所有 \(i\)，建边 \((i,P_i)\)。

第一次的交换操作，可以选择任意一个环中的任意两个元素进行交换，设建图后有 \(m\) 个环（不含单点），于是答案就是：

\[\sum_{i=1}^m {|C_i|\choose2} \]

虽然意义上是有向图，但是由于题目性质，这里可以当无向图来建。

ABC437

F：绝对值 \(\to \max\)

\[|x-x_1|+|y-y_1|=\max\{ x-x_1+y-y_1 ,x_1-x+y-y_1,x-x_1+y_1-y,x_1-x+y_1-y \} \]

整理得到：

\[\max\{ (-x_1-y_1)-(-x-y) ,(x_1-y_1)-(x-y),(y_1-x_1)-(y-x),(x_1+y_1)-(x+y) \} \]

这样可以在线段树上维护四个变量解决该题。

ABC438

F：统计的转化

如果题目要求的量成：\(\sum {kcnt_k}\)，\(cnt_k\) 表示 \(k\) 的答案。可以转化为：\(\sum {c_k}\)，\(c_k\) 为 \(\ge k\) 的答案。

ABC448

E:化简式子

\[[\frac{N}{M}]\mod K =[\frac{N \mod (MK)}{M}]=[\frac{r}{M}] \]