Dilworth 定理

由于东西比较多就搬出来。

在偏序集中，最小链覆盖等于最长反链。

名词	解释
链	\(D\) 中的一个子集 \(C\) 满足 \(C\) 是全序集及 \(C\) 中所有元素都可以比较大小
反链	\(D\) 中的一个子集 \(B\) 满足 \(B\) 中任意非空子集都不是全序集，即所有元素之间都不可以比较大小
链覆盖	若干个链的并集为 \(D\)，且两两之间交集为 \(\varnothing\)
反链覆盖	若干个反链的并集为 \(D\)，且两两之间交集为 \(\varnothing\)
最长链	所有链中元素个数最多的 (可以有多个)
最长反链	所有反链中元素个数最多的 (可以有多个）
偏序集高度	最长链的元素个数
偏序集宽度	最长反链中的元素个数

\[最小链覆盖 = 最长反链长度 = 偏序集宽度 \]

\[最小反链覆盖=最长链长度=偏序集深度 \]

在偏序集形成 DAG 中，任意两个在链中的元素，一定可以从某一个点到达另外一个点。

任意两个在反链中的元素，互相都不能到达。