三角形的费马点（即托里拆利点）

费马问题

托里拆利点

Q:给定三角形 \(\triangle ABC\)，用尺规作图作出三角形内一点 \(D\) 使得 \(AD+BD+CD\) 取到最小值。

A:

若三角形三个角均小于 \(120^{\circ}\)：

则将 \(\triangle ACD\) 绕点 \(A\) 逆时针旋转 \(60^{\circ}\) 得到 \(\triangle AC'D'\)。

再连结 \(DD'\) 和 \(BC'\)。

发现 \(AD+BD+CD=DD'+BD+C'D'\geqslant BC'\)（证明留给读者）

所以当 \(B,D,D',C'\) 四点共线时 \(AD+BD+CD\) 取最小值。

显然

\[\begin{cases}\angle ADC=\angle AD'C'=120^{\circ} \\ \angle ADB=120^{\circ} \\ \angle BDC=120^{\circ}\end{cases} \]

尺规作图轻松解决（分别以三边中一边，向三角形外作正三角形，如图相连，交点即为 \(D\)）。

若三角形有个角不小于 \(120^{\circ}\)：

则 \(D\) 与那个不小于 \(120^{\circ}\) 的角的顶点重合（证明略）。