SPFA-还没看懂

一、Bellman-Ford算法

最优性原理

它是最优性原理的直接应用，算法基于以下事实：

l          如果最短路存在，则每个顶点最多经过一次，因此不超过n-1条边；

l          长度为k的路由长度为k-1的路加一条边得到；

l          由最优性原理，只需依次考虑长度为1，2，…，k-1的最短路。

适用条件&范围

l          单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

l          有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

l          边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

l          差分约束系统（需要首先构造约束图，构造不等式时>=表示求最小值, 作为最长路，<=表示求最大值, 作为最短路。<=构图时, 有负环说明无解；求不出最短路（为Inf）为任意解。>=构图时类似）。   

算法描述

l          对每条边进行|V|-1次Relax操作;

l          如果存在(u,v)∈E使得dis[u]+w<dis[v],则存在负权回路;否则dis[v]即为s到v的最短距离,pre[v]为前驱。   

时空复杂度                                                                                             

for i:=1 to |V|-1 do

    for 每条边(u,v)∈E do   Relax(u,v,w);

for每条边(u,v)∈E do

if dis[u]+w<dis[v] Then Exit(False)

算法时间复杂度O(VE)。因为算法简单，适用范围又广，虽然复杂度稍高，仍不失为一个很实用的算法。

改进和优化   如果循环n-1次以前已经发现不存在紧边则可以立即终止； Yen氏改进（不降低渐进复杂度）；SPFA算法

二、             SPFA算法

算法简介

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是Bellman-Ford算法的一种队列

实现，减少了不必要的冗余计算。 它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。

算法流程

SPFA对Bellman-Ford算法优化的关键之处在于意识到：只有那些在前一遍松弛中改变了距离估计值的点，才可能引起他们的邻接点的距离估计值的改变。因此，算法大致流程是用一个队列来进行维护，即用一个先进先出的队列来存放被成功松弛的顶点。初始时，源点s入队。当队列不为空时，取出队首顶点，对它的邻接点进行松弛。如果某个邻接点松弛成功，且该邻接点不在队列中，则将其入队。经过有限次的松弛操作后，队列将为空，算法结束。SPFA算法的实现，需要用到一个先进先出的队列 queue 和一个指示顶点是否在队列中的标记数组mark。为了方便查找某个顶点的邻接点，图采用临界表存储。

算法代码

Procedure SPFA;

Begin

             initialize-single-source(G,s);

             initialize-queue(Q);

             enqueue(Q,s);

             while not empty(Q) do begin

                u:=dequeue(Q);

                for each v∈adj[u] do begin

                   tmp:=d[v]; relax(u,v);

                   if (tmp<>d[v]) and (not v in Q) then enqueue(v);

                   end;

                end;

End;

负环处理

   需要特别注意的是：仅当图不存在负权回路时，SPFA能正常工作。如果图存在负权回路，由于负权回路上的顶点无法收敛，总有顶点在入队和出队往返，队列无法为空，这种情况下SPFA无法正常结束。